Question

已知函數(shù)g（x）=ax²-2ax+1+b（a＞0）在區(qū)間[2，3]上有最大值4和最小值1．
（1）求a、b的值．
（2）若不等式

g(x)

x

-k≥0在x∈[1，2]上有解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：其他不等式的解法,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）依題意知，g（x）=ax²-2ax+1+b（a＞0）在區(qū)間[2，3]上遞增，由

g(2)=1 g(3)=4

即可求得a、b的值．
（2）由（1）知，不等式

g(x)

x

-k≥0可化簡為k≤x+

1

x

-2，令h（x）=x+

1

x

-2，易求h（x）=x+

1

x

-2在x=2時取得最大值

1

2

，從而可得k的取值范圍．

解答： 解：（1）g（x）=ax²-2ax+1+b=a（x-1）²+1+b-a，
∵a＞0，
∴g（x）=ax²-2ax+1+b（a＞0）在區(qū)間[2，3]上遞增，
∴

g(2)=1 g(3)=4

，解得

a=1 b=0

；
（2）由（1）知，不等式

g(x)

x

-k≥0可化簡為k≤x+

1

x

-2，
令h（x）=x+

1

x

-2，
由雙鉤函數(shù)的性質(zhì)可得，h（x）在[1，2]上單調(diào)遞增，
∴h（x）=x+

1

x

-2在x=2時取得最大值

1

2

，
∴k≤

1

2

．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)的應(yīng)用，考查等價轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．