Question

19．在經(jīng)濟學(xué)中，函數(shù)f（x）的邊際函數(shù)為Mf（x），定義為Mf（x）=f（x+1）-f（x），某公司每月最多生產(chǎn)100臺報警系統(tǒng)裝置．生產(chǎn)x臺的收入函數(shù)為R（x）=3000x-20x²（單位元），其成本函數(shù)為C（x）=600x+2000（單位元），利潤等于收入與成本之差．
①求出利潤函數(shù)p（x）及其邊際利潤函數(shù)Mp（x）
②求出的利潤函數(shù)p（x）及其邊際利潤函數(shù)Mp（x）是否具有相同的最大值；
③你認為本題中邊際利潤函數(shù)Mp（x）最大值的實際意義．

Answer 1

分析 ①由“利潤等于收入與成本之差．”可求得利潤函數(shù)p（x），由“邊際函數(shù)為Mf（x），定義為Mf（x）=f（x+1）-f（x）”可求得邊際函數(shù)．
②由二次函數(shù)法研究p（x）的最大值，由一次函數(shù)法研究Mp（x），對照結(jié)果即可．
③Mp（x）最大值意義在于它顯示出了，利潤的最大增量．當從生產(chǎn)0件產(chǎn)品到生產(chǎn)1件產(chǎn)品的過程中利潤增量由0變到2480，Mp（x）是相對簡單函數(shù)，能夠很明了的標示利潤與產(chǎn)量的關(guān)系．

解答 解：①根據(jù)題意：
p（x）=R（x）-C（x）=-20x²+2400x-2000
Mp（x）=p（x+1）-p（x）
=-20（x+1+x）（x+1-x）+2400（x+1-x）
=-40x+2380（0＜x≤100，x∈N^*）； 5分
②p（x）=-20x²+2400x-2000
=-20（x-60）²+74000
∴當x=60時，函數(shù)最大值為：74000
∵Mp（x）=-40x+2380為減函數(shù)，
∴當x=1時，函數(shù)最大值為：2340． 10分
故不具有相等的最大值．
③、邊際利潤函數(shù)取最大值時，說明生產(chǎn)第二臺機器與生產(chǎn)第一臺的利潤差最大.12分．

點評 本題考查函數(shù)模型的建立和應(yīng)用，涉及了函數(shù)的最值，同時，確定函數(shù)關(guān)系實質(zhì)就是將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號語言--數(shù)學(xué)化，再用數(shù)學(xué)方法定量計算得出所要求的結(jié)果，關(guān)鍵是理解題意，將變量的實際意義符號化．