Question

【題目】已知雙曲線E： ﹣ =1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線分別為l1：y=2x，l2：y=﹣2x．

（1）求雙曲線E的離心率；
（2）如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)直線l分別交直線l1 ， l2于A，B兩點(diǎn)（A，B分別在第一、第四象限），且△OAB的面積恒為8，試探究：是否存在總與直線l有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線E？若存在，求出雙曲線E的方程，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：因?yàn)殡p曲線E的漸近線分別為l1：y=2x，l2：y=﹣2x，

所以 =2．

所以 =2．

故c= a，

從而雙曲線E的離心率e= =

（2）解：由（1）知，雙曲線E的方程為 ﹣ =1．

設(shè)直線l與x軸相交于點(diǎn)C，

當(dāng)l⊥x軸時(shí)，若直線l與雙曲線E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則|OC|=a，|AB|=4a，

所以 |OC||AB|=8，

因此 a4a=8，解得a=2，此時(shí)雙曲線E的方程為 ﹣ =1．

以下證明：當(dāng)直線l不與x軸垂直時(shí)，雙曲線E的方程為 ﹣ =1也滿足條件．

設(shè)直線l的方程為y=kx+m，依題意，得k＞2或k＜﹣2；

則C（﹣ ，0），記A（x1，y1），B（x2，y2），

由 得y1= ，同理得y2= ，

由S△OAB= |OC||y1﹣y2|得：

|﹣ || ﹣ |=8，即m2=4|4﹣k2|=4（k2﹣4）．

由 得：（4﹣k2）x2﹣2kmx﹣m2﹣16=0，

因?yàn)?﹣k2＜0，

所以△=4k2m2+4（4﹣k）（m2+16）=﹣16（4k2﹣m2﹣16），

又因?yàn)閙2=4（k2﹣4），

所以△=0，即直線l與雙曲線E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．

因此，存在總與直線l有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線E，且E的方程為 ﹣ =1

【解析】（1）依題意，可知 =2，易知c= a，從而可求雙曲線E的離心率；（2）由（1）知，雙曲線E的方程為 ﹣ =1，設(shè)直線l與x軸相交于點(diǎn)C，分l⊥x軸與直線l不與x軸垂直討論，當(dāng)l⊥x軸時(shí)，易求雙曲線E的方程為 ﹣ =1．當(dāng)直線l不與x軸垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=kx+m，與雙曲線E的方程聯(lián)立，利用由S△OAB= |OC||y1﹣y2|=8可證得：雙曲線E的方程為 ﹣ =1，從而可得答案．