Question

設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=a_n²-na_n+1,

(1)當(dāng)a₁=2時(shí),求a₂,a₃,a₄,并猜想a_n的通項(xiàng)公式;

(2)當(dāng)a₁≥3時(shí),證明對所有n≥1有a_n≥n+2.

Answer 1

解：(1)由a₁=2得a₂=a₁²-a₁+1=3;?

由a₂=3得a₃=a₂²-2a₂+1=4;?

由a₃=4得a₄=a₃²-3a₃+1=5.?

由此猜想a_n的一個(gè)通項(xiàng)公式為a_n=n+1(n≥1).?

(2)當(dāng)n=1時(shí),a₁≥3=1+2,不等式成立.?

假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)不等式成立,即a_k≥k+2,?

那么a_k+1=a_k(a_k-k)+1≥(k+2)(k+2-k)+1≥k+3.?

∴n=k+1時(shí),a_k+1≥(k+1)+2.?

∴當(dāng)n≥1時(shí),a_n≥n+2.

溫馨提示

從已知條件入手,尋求它們的內(nèi)在聯(lián)系,從而找出證明的途徑,充分利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行放縮證明.