Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，該橢圓的離心率為

2

2

，A是橢圓上一點(diǎn)，AF₂⊥F₁F₂，原點(diǎn)O到直線AF₁的距離為

1

3

．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）是否存在過(guò)F₂的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且滿(mǎn)足△AOB的面積為

2

3

，若存在，求直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程,圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（Ⅰ）首先，可以設(shè)F（c，0）（c＞0），根據(jù)e=

2

2

，得a=

2

c，然后根據(jù)AF₂⊥F₁F₂，得到A（c，±

2

2

c），
從而得到直線AF₁的方程為y=±

2

4

(x+c)，

2

x±y+

2

c=0，再結(jié)合O到直線AF₁的距離為

1

3

，得到

2 c

18

=

1

3

，從而解得a=

2

，b=c=1，從而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）首先，假設(shè)存在，然后，設(shè)直線的方程，建立面積關(guān)系式，然后，求解即可．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)F（c，0）（c＞0），根據(jù)e=

2

2

，得
a=

2

c，
∴b=c，
∵AF₂⊥F₁F₂，
∴A（c，±

2

2

c），
直線AF₁的方程為y=±

2

4

(x+c)，
∴

2

x±y+

2

c=0，
∵O到直線AF₁的距離為

1

3

，故

2 c

18

=

1

3

，
∴a=

2

，b=c=1，
∴橢圓的方程

x2

2

+y2=1；
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
當(dāng)直線l不垂直x軸時(shí)，設(shè)直線的方程為：y=k（x-1），
代入橢圓方程得：（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0
x₁+x₂=

4k2

1+2k2

，x₁•x₂=

2k2-2

1+2k2

，
∴|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2|

2 2 1+k2

1+2k2

點(diǎn)O多直線l的距離為d=

|k|

1+k2

，
S△AOB=

2 |k| 1+k2

1+2k2

=

2

3

，
∴解得k²=1，k=±1，
∴直線l的方程為：x-y-1=0或x+y-1=0，
當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，不合題意，
∴直線l的方程為：x-y-1=0或x+y-1=0．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．