Question

2．某商場(chǎng)舉行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，顧客購(gòu)買(mǎi)一定金額商品后即可抽獎(jiǎng)，每次抽獎(jiǎng)都從裝有4個(gè)紅球、6個(gè)白球的甲箱和裝有5個(gè)紅球、5個(gè)白球的乙箱中，各隨機(jī)摸出1個(gè)球，在摸出的2個(gè)球中，若都是紅球，則獲一等獎(jiǎng)；若只有1個(gè)紅球，則獲二等獎(jiǎng)；若沒(méi)有紅球，則不獲獎(jiǎng)．
（1）求顧客抽獎(jiǎng)1次能獲獎(jiǎng)的概率；
（2）若某顧客有3次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，則該顧客在3次抽獎(jiǎng)中至多有兩次獲得一等獎(jiǎng)的概率．

Answer 1

分析 （1）記事件A₁={從甲箱中摸出的1個(gè)球是紅球}，A₂={從乙箱中摸出的1個(gè)球是紅球}，B₁={顧客抽獎(jiǎng)1次獲一等獎(jiǎng)}，B₂={顧客抽獎(jiǎng)1次獲二等獎(jiǎng)}，C={顧客抽獎(jiǎng)1次能獲獎(jiǎng)}，由題意，A₁與A₂相互獨(dú)立，${A_1}\overline{A_2}$與$\overline{A_1}{A_2}$互斥，B₁與B₂互斥，且B₁=A₁A₂，B₂=${A_1}\overline{A_2}+$$\overline{A_1}{A_2}$，C=B₁+B₂，由此能求出顧客抽獎(jiǎng)1次能獲獎(jiǎng)的概率．
（2）顧客抽獎(jiǎng)3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，顧客抽獎(jiǎng)1次獲一等獎(jiǎng)的概率為$\frac{1}{5}$，由此能求出該顧客在3次抽獎(jiǎng)中至多有兩次獲得一等獎(jiǎng)的概率．

解答 解：（1）記事件A₁={從甲箱中摸出的1個(gè)球是紅球}，
A₂={從乙箱中摸出的1個(gè)球是紅球}，
B₁={顧客抽獎(jiǎng)1次獲一等獎(jiǎng)}，B₂={顧客抽獎(jiǎng)1次獲二等獎(jiǎng)}，
C={顧客抽獎(jiǎng)1次能獲獎(jiǎng)}，
由題意，A₁與A₂相互獨(dú)立，${A_1}\overline{A_2}$與$\overline{A_1}{A_2}$互斥，B₁與B₂互斥，
且B₁=A₁A₂，B₂=${A_1}\overline{A_2}+$$\overline{A_1}{A_2}$，C=B₁+B₂，
∵$P（{A_1}）=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$，$P（{A_2}）=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$，
∴$P（{B_1}）=P（{A_1}{A_2}）=P（{A_1}）P（{A_2}）=\frac{2}{5}×\frac{1}{2}=\frac{1}{5}$，
$P（{B_2}）=P（{A_1}\overline{A_2}+\overline{A_1}{A_2}）=P（{A_1}\overline{A_2}）+P（\overline{A_1}{A_2}）=P（{A_1}）（1-P（{A_2}））+（1-P（{A_1}））P（{A_2}）$
=$\frac{2}{5}×（1-\frac{1}{2}）+（1-\frac{2}{5}）×\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，
故所求概率為$P（C）=P（{B_1}+{B_2}）=P（{B_1}）+P（{B_2}）=\frac{1}{5}+\frac{1}{2}=\frac{7}{10}$．
（2）顧客抽獎(jiǎng)3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，
由（1）知，顧客抽獎(jiǎng)1次獲一等獎(jiǎng)的概率為$\frac{1}{5}$，
∴該顧客在3次抽獎(jiǎng)中至多有兩次獲得一等獎(jiǎng)的概率為：
$p=1-\frac{1}{5}×\frac{1}{5}×\frac{1}{5}=\frac{124}{125}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意對(duì)立事件概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用．