Question

設(shè)點A、B坐標(biāo)分別為（0，-

2

），（0，

2

），直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積為-

2

3

．
（1）求點M軌跡C的方程；
（2）若過點D（2，0）的直線l與（1）中的軌跡C交于不同的兩點E，F(xiàn)（E在D、F之間），試求△ODE與△ODF面積之比的取值范圍（0為坐標(biāo)原點）．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)M（x，y），由題意可得k_AM•k_BM=-

2

3

，利用斜率計算公式可得

y+ 2

x

•

y- 2

x

=-

2

3

（x≠0），化簡即可；
（2）如圖所示，設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），（x₁＞0＞x₂）．則△ODE與△ODF面積之比等于|DE|：|DF|=λ，0＜λ＜1，λ=

2-x1

2-x2

．直線l的方程為y=k（x-2）（0＜y≤1）與圓的方程聯(lián)立可得△＞0，再利用求根公式可得x₁，x₂，代入即可．

解答： 解：（1）設(shè)M（x，y），由題意可得k_AM•k_BM=-

2

3

，
∴

y+ 2

x

•

y- 2

x

=-

2

3

（x≠0），化為2x²+3y²=6（x≠0）．
∴點M軌跡C的方程為

x2

3

+

y2

2

=1（x≠0）；
（2）如圖所示設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），（x₁＞0＞x₂）．
則△ODE與△ODF面積之比等于|DE|：|DF|=λ，0＜λ＜1，
∴λ=

2-x1

2-x2

．
直線l的方程為y=k（x-2）（k＜0），代入橢圓方程，
可得（2+3k²）x²-12k²x+12k²-6=0，
由△=144k⁴-4（2+3k²）（12k²-6）＞0，解得-

2

2

＜k＜0．
∴x₂=

6k2- 12-6k2

2+3k2

，x₁=

6k2+ 12-6k2

2+3k2

，
∴λ=

2-x1

2-x2

=

4- 12-6k2

4+ 12-6k2

=-1+

8

4+ 12-6k2

．
由-

2

2

＜k＜0．
可得9-4

3

＜λ＜

15

7

．

點評：熟練掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、斜率計算公式、直線與圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到△＞0及利用求根公式得到實數(shù)根、函數(shù)的單調(diào)性等是解題的關(guān)鍵．