Question

已知圓C：x²+y²-6x-4y+4=0，直線l₁被圓所截得的弦的中點(diǎn)為P（5，3）．
（1）求直線l₁的方程；
（2）若直線l₂：x+y+b=0與圓C相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將圓C方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，找出圓心坐標(biāo)與半徑r，根據(jù)垂徑定理得到直線CP與直線l₁垂直，根據(jù)直線CP的斜率求出直線l₁的斜率，確定出直線l₁的方程即可；
（2）聯(lián)立圓的方程與直線l₂方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)直線與圓相交于不同的兩個(gè)點(diǎn)，得到方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即根的判別式大于0，即可求出b的范圍．

解答：解：（1）由圓C：x²+y²-6x-4y+4=0，得（x-3）²+（y-2）²=9，
∴圓心C（3，2），半徑為3，
由垂徑定理知：直線l₁⊥直線CP，
∵直線CP的斜率k_CP=

3-2

5-3

=

1

2

，
∴直線l₁的斜率k_l1=-

1

kCP

=-2，
則直線l₁的方程為y-3=-2（x-5），即2x+y-13=0；
（2）由題意知方程組

x2+y2-6x-4y+4=0 x+y+b=0

有兩組解，
由方程組消去y得2x²+2（b-1）x+b²+4b+4=0，該方程應(yīng)有兩個(gè)不同的解，
∴△=[2（b-1）]²-8（b²+4b+4）＞0，化簡(jiǎn)得b²+10b+7＜0，
由b²+10b+7=0，解得：b=-5±3

2

，
∴b²+10b+7＜0解得：-5-3

2

＜b＜-5+3

2

，
則b的取值范圍是（-5-3

2

，-5+3

2

）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識(shí)有：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，點(diǎn)到直線的距離公式，直線與圓的位置關(guān)系由d與r的大小來(lái)判斷，當(dāng)d＞r時(shí)，直線與圓相離；當(dāng)d=r時(shí)，直線與圓相切；當(dāng)d＜r時(shí)，直線與圓相交．