Question

某市電視臺(tái)的娛樂頻道“好聲音”節(jié)目，制定第一輪晉級(jí)互第二輪的規(guī)則如下；每名選手準(zhǔn)備三首有順歌曲，按順序唱，第一首歌專業(yè)評(píng)審團(tuán)全票通過則直接晉級(jí)到第二輪；否則唱第二首歌和第三首歌，第二首歌由專業(yè)評(píng)審團(tuán)投票是否通過，第三首歌由媒體評(píng)審團(tuán)投票是否通過．若第二首歌獲得專業(yè)評(píng)審團(tuán)三分之二票數(shù)以上通過，且第三首歌獲得媒體評(píng)審團(tuán)三分之二票數(shù)以上通過，晉級(jí)到第二輪；若第二首歌，沒有獲得專業(yè)評(píng)審團(tuán)三分之二票數(shù)通過，但第三首歌，媒體評(píng)審團(tuán)全票通過，也同樣晉級(jí)到第二輪，否則淘汰．某名選手估計(jì)自己三首歌通過的概率如表：

第一首歌專業(yè)評(píng)審團(tuán)全票通過概率	第二首歌三分之二以上專業(yè)評(píng)審團(tuán)通過概率	第三首歌三分之二以上媒體評(píng)審團(tuán)通過概率	第三首歌媒體評(píng)審團(tuán)全票通過概率
0.2	0.5	0.8	0.4

若晉級(jí)后面的歌就不需要唱了，求
（1）求該選手晉級(jí)唱歌首數(shù)ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望；
（2）求該選手晉級(jí)概率．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,離散型隨機(jī)變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）由已知得ξ的可能取值為1，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．
（2）設(shè)該選手第一首歌專業(yè)評(píng)審團(tuán)全票通過晉級(jí)到第二輪的事件為A，第二首歌三分之二以上專業(yè)評(píng)審團(tuán)通過，且第三首歌三分之二以上媒體評(píng)審團(tuán)通過晉級(jí)到第二輪、第二首歌不到三分之二專業(yè)評(píng)審團(tuán)通過，且第三首歌媒體評(píng)審團(tuán)全票通過晉級(jí)到第二輪的事件分別為B、C，分別求出事件A，B，C的概率，由此利用互斥事件概率加法公式能求出該選手晉級(jí)的概率．

解答： 解：（1）由已知得ξ的可能取值為1，3，
P（ξ=1）=0.2，
P（ξ=3）=1-0.2=0.8，
∴ξ的分布列為：

ξ	1	3
P	0.2	0.8

Eξ=1×0.2+3×0.8=2.6．…（6分）
（2）設(shè)該選手第一首歌專業(yè)評(píng)審團(tuán)全票通過晉級(jí)到第二輪的事件為A，
第二首歌三分之二以上專業(yè)評(píng)審團(tuán)通過，
且第三首歌三分之二以上媒體評(píng)審團(tuán)通過晉級(jí)到第二輪、
第二首歌不到三分之二專業(yè)評(píng)審團(tuán)通過，
且第三首歌媒體評(píng)審團(tuán)全票通過晉級(jí)到第二輪的事件分別為B、C．
則（i）P（A）=0.2，…（7分）
（ii）P（B）=（1-0.2）×0.5×0.8=0.32，…（9分）
（iii）P（C）=（1-0.2）×（1-0.5）×0.4=0.16…（11分）
∴該選手晉級(jí)的概率為：P₂=P（A）+P（B）+P（C）=0.68．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，在歷年高考中都是必考題型之一．