Question

15．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥底面ABC，AB=AC=$\sqrt{3}$，BC=3，AA₁=5，$\overrightarrow{BD}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{{B}_{1}{D}_{1}}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}$，$\overrightarrow{D{P}_{1}}$=$\frac{3}{5}\overrightarrow{D{D}_{1}}$，一光線從A射出，第一次射到平面BCC₁B₁上點P₁，經(jīng)反射后第二次射到表面上點P₂，依次下去，…，則P₂P₃=（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{10}}{6}$
• B． $\frac{\sqrt{10}}{4}$
• C． $\frac{\sqrt{10}}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{10}}{2}$

Answer 1

分析 利用余弦定理計算AD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出P₂，P₃的位置，利用勾股定理計算P₂P₃．

解答 解：連結(jié)AD，在△ABC中由余弦定理得cos∠ABC=$\frac{A{B}^{2}+B{C}^{2}-A{C}^{2}}{2AB•BC}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
在△ABD中，由余弦定理得cos∠ABD=$\frac{A{B}^{2}+B{D}^{2}-A{D}^{2}}{2AB•BD}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得AD=1．
在矩形ADD₁A₁中，DD₁=AA₁=5，DP₁=$\frac{3}{5}D{D}_{1}$=3，∴D₁P₁=2，
∵∠ADP₁=∠P₁D₁P₂=90°，∠AP₁D=∠D₁P₁P₂，
∴Rt△ADP₁∽Rt△P₂D₁P₁，∴$\frac{{D}_{1}{P}_{2}}{AD}=\frac{{D}_{1}{P}_{1}}{D{P}_{1}}=\frac{2}{3}$，
∴D₁P₂=$\frac{2}{3}$，P₂A₁=A₁D₁-D₁P₂=$\frac{1}{3}$．
同理；Rt△P₁D₁P₂∽Rt△P₃A₁P₂，
∴$\frac{{A}_{1}{P}_{3}}{{P}_{1}{D}_{1}}=\frac{{A}_{1}{P}_{2}}{{D}_{1}{P}_{2}}=\frac{1}{2}$，∴A₁P₃=$\frac{1}{2}$P₁D₁=1．
∴P₂P₃=$\sqrt{{A}_{1}{{P}_{2}}^{2}+{A}_{1}{{P}_{3}}^{2}}$=$\sqrt{\frac{1}{9}+1}$=$\frac{\sqrt{10}}{3}$．
故選：C．

點評 本題考查了棱柱的結(jié)構(gòu)特征，余弦定理，相似三角形，屬于基礎(chǔ)題．