Question

9．P（x，y）滿(mǎn)足x²+y²-4y+1=0，則
（1）x+y最大值？
（2）$\frac{y+1}{x}$取值范圍？
（3）x²-2x+y²+1的最值？

Answer 1

分析 （1）令令z=x+y，則當(dāng)直線(xiàn)x+y-z=0與圓相切時(shí)，截距取得最值，即z取得最值，利用切線(xiàn)的性質(zhì)解出z的最值；
（2）當(dāng)直線(xiàn)kx-y-1=0圓相切時(shí)，k取得最值，利用切線(xiàn)的性質(zhì)求出k；
（3）x²-2x+y²+1=（x-1）²+y²，表示（x，y）與（1，0）的距離的平方，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）令z=x+y，則x+y-z=0，
∴當(dāng)直線(xiàn)x+y-z=0與圓C相切時(shí)，z取得最大值或最小值．此時(shí)圓心到直線(xiàn)x+y-z=0的距離d=r=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{|2-z|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{3}$，解得z=2±$\sqrt{6}$．
∴x+y的最大值為2+$\sqrt{6}$；
（2）令$\frac{y+1}{x}$=k，則kx-y-1=0，當(dāng)直線(xiàn)與圓C相切時(shí)，直線(xiàn)斜率最大或最小，即k最大或最小．
∴$\frac{3}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{3}$，∴k=$±\sqrt{2}$，
∴$\frac{y+1}{x}$取值范圍是[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]；
（3）x²-2x+y²+1=（x-1）²+y²，表示（x，y）與（1，0）的距離的平方，
圓心與（1，0）的距離為$\sqrt{5}$，∴（x，y）與（1，0）的距離的最大值為$\sqrt{5}$+$\sqrt{3}$，最小值為$\sqrt{5}$-$\sqrt{3}$，
∴x²-2x+y²+1的最大值為8+2$\sqrt{15}$，最小值為8-2$\sqrt{15}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃，屬于中檔題．