已知函數(shù)f(x)的定義域為[0,1]且同時滿足:①對任意x∈[0,1]總有f(x)≥2;②f(1)=3;③若x1≥0,x2≥0且x1+x2≤1,則有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-2.
(I)求f(0)的值;
(II)求f(x)的最大值;
(III)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且Sn=-
12
(an-3)(n∈N*)
,求f(a1)+f(a2)+…+f(an).
分析:(1)令x1=x2=0,代入f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-2,可求出f(0)的值.
(II)任取x1x2∈[0,1],且x1<x2,利用③證明f(x2)-f(x1))=f(x2-x1)-2≥0,即 f(x2)≥f(x1),得到f(x)≤f(1)=3.
(III)令n=1,得:a1=1,n≥2,時,由an=sn-sn-1求出通項公式,得到f(an)與f(an-1)的關(guān)系,構(gòu)造一個等比數(shù)列,求出f(a1)+f(a2)+…+f(an)的值.
解答:解:(Ⅰ)令x1=x2=0,
由③知f(0)=2f(0)-2?f(0)=2;
(Ⅱ)任取x1x2∈[0,1],且x1<x2,
則0<x2-x1≤1,∴f(x2-x1)≥2
∴f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1
=f(x2-x1)+f(x1)-2-f(x1)=f(x2-x1)-2≥0
∴f(x2)≥f(x1),則f(x)≤f(1)=3.
∴f(x)的最大值為3;
(Ⅲ)由Sn=-
1
2
(an-3)
知,
n=1時,a1=1;當n≥2時,an=-
1
2
an+
1
2
an-1

an=
1
3
an-1(n≥2),又a1=1,∴an=
1
3n-1

f(an)=f(
1
3n-1
)=f(
1
3n
+
1
3n
+
1
3n
)=f(
2
3n
)+f(
1
3n
)-2

=3f(
1
3n
)-4=3f(an+1)-4

f(an+1)=
1
3
f(an)+
4
3

f(an+1)-2=
1
3
(f(an)-2)

又f(a1)-2=1∴f(an)-2=(
1
3
)n-1,∴f(an)=(
1
3
)n-1+2

f(a1)+f(a2)++f(an)=2n+
3
2
-
1
3n-1
.
點評:本題考查抽象函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,前n項和與第n項的關(guān)系,構(gòu)造法進行數(shù)列求和.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=log3
3
x
1-x
,M(x1y1),N(x2y2)
是f(x)圖象上的兩點,橫坐標為
1
2
的點P滿足2
OP
=
OM
+
ON
(O為坐標原點).
(Ⅰ)求證:y1+y2為定值;
(Ⅱ)若Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)
,其中n∈N*,且n≥2,求Sn;
(Ⅲ)已知an=
1
6
,                          n=1
1
4(Sn+1)(Sn+1+1)
,n≥2
,其中n∈N*,Tn為數(shù)列{an}的前n項和,若Tn<m(Sn+1+1)對一切n∈N*都成立,試求m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

下列說法正確的有( 。﹤.
①已知函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)可導,若f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增,則對任意的?x∈(a,b),有f′(x)>0.
②函數(shù)f(x)圖象在點P處的切線存在,則函數(shù)f(x)在點P處的導數(shù)存在;反之若函數(shù)f(x)在點P處的導數(shù)存在,則函數(shù)f(x)圖象在點P處的切線存在.
③因為3>2,所以3+i>2+i,其中i為虛數(shù)單位.
④定積分定義可以分為:分割、近似代替、求和、取極限四步,對求和In=
n
i=1
f(ξi)△x
中ξi的選取是任意的,且In僅于n有關(guān).
⑤已知2i-3是方程2x2+px+q=0的一個根,則實數(shù)p,q的值分別是12,26.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=sin(2x-
π
6
),g(x)=sin(2x+
π
3
),直線y=m與兩個相鄰函數(shù)的交點為A,B,若m變化時,AB的長度是一個定值,則AB的值是( 。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(Ⅰ)已知函數(shù)f(x)=x3-x,其圖象記為曲線C.
(i)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(ii)證明:若對于任意非零實數(shù)x1,曲線C與其在點P1(x1,f(x1))處的切線交于另一點P2(x2,f(x2)),曲線C與其在點P2(x2,f(x2))處的切線交于另一點P3(x3,f(x3)),線段P1P2,P2P3與曲線C所圍成封閉圖形的面積記為S1,S2.則
S1S2
為定值;
(Ⅱ)對于一般的三次函數(shù)g(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),請給出類似于(Ⅰ)(ii)的正確命題,并予以證明.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x3-ax+b存在極值點.
(1)求a的取值范圍;
(2)過曲線y=f(x)外的點P(1,0)作曲線y=f(x)的切線,所作切線恰有兩條,切點分別為A、B.
(。┳C明:a=b;
(ⅱ)請問△PAB的面積是否為定值?若是,求此定值;若不是求出面積的取值范圍.

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