Question

已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁、F₂，A為上頂點，AF₁交橢圓E于另一點B，且△ABF₂的周長為8，點F₂到直線AB的距離為2．
（Ⅰ）求橢圓E的標準方程；
（Ⅱ）求過D（1，0）作橢圓E的兩條互相垂直的弦，M、N分別為兩弦的中點，求證：直線MN經(jīng)過定點，并求出定點的坐標．

Answer 1

分析：（I）AB+AF₂+BF₂=（AF₁+AF₂）+（BF₁+BF₂）=4a=8?a=2，再由點F₂到直線AB的距離d=

|bc+bc|

b2+c2

=

2bc

a

=bc=2，可以求出橢圓E的標準方程：

x2

4

+

y2

2

=1．
（II）由題設(shè)條件可知M(

2

m2+2

，

-m

m2+2

)，同理N(

2m2

2m2+1

，

m

2m2+1

)，由此可推導出直線MN過定點(

2

3

，0)

解答：解：（I）AB+AF₂+BF₂=（AF₁+AF₂）+（BF₁+BF₂）=4a=8，∴a=2
設(shè)c=

a2-b2

，因為A（0，b），
∴直線AB的方程為

x

-c

+

y

b

=1，即bx-cy+bc=0，
∴點F₂到直線AB的距離d=

|bc+bc|

b2+c2

=

2bc

a

=bc=2，b=

2

，c=

2

，
∴橢圓E的標準方程：

x2

4

+

y2

2

=1．
（II）設(shè)以M為中點的弦與橢圓交于（x₁，y₁），（x₂，y₂），則x1+x2=(my1-1)+(my2+1)=m(y1+y2)+2=

-2m2

m2+2

+2=

4

m2+2

∴M(

2

m2+2

，

-m

m2+2

)，同理N(

2m2

2m2+1

，

m

2m2+1

)，
∴KMN=

m 1+2m2 + m 2+m2

2m2 1+2m2 - 2 2+m2

=

3m

2(m2-1)

，MN：y+

m

2+m2

=

3m

2(m2-1)

(x-

2

2+m2

)，
整理得y=

3m

2(m2-1)

(x-

2

3

)，
∴直線MN過定點(

2

3

，0)．
當直線P₁Q₁的斜率不存在或為零時，P₁Q₁、P₂Q₂的中點為點D及原點O，直線MN為x軸，
也過此定點，
∴直線MN過定點(

2

3

，0)．

點評：本題主要考查直線、橢圓的基礎(chǔ)知識，考查函數(shù)與方程思想、分別事整合思想及化歸與轉(zhuǎn)化思想．