【題目】已知指數(shù)函數(shù)y=g(x)滿足:g(3)=8,定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)= 是奇函數(shù).
(1)確定y=f(x)和y=g(x)的解析式;
(2)若對任意的x∈[1,4],不等式f(2x﹣3)+f(x﹣k)>0恒成立,求k的取值范圍.

【答案】
(1)解:設(shè)g(x)=ax(a>0且a≠1),

∵g(3)=8,∴a3=8,解得a=2.∴g(x)=2x.∴f(x)=

∵函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù),∴f(0)=0,∴n=1,∴f(x)= ,(x∈R)


(2)解:由(Ⅰ)知f(x)= ,易知f(x)在R上為減函數(shù),

又f(x)是奇函數(shù),∴f(2x﹣3)+f(x﹣k)>0,∴f(2x﹣3)>﹣f(x﹣k)=f(k﹣x),

∵f(x)在R上為減函數(shù),由上式得2x﹣3<k﹣x,

即對一切x∈(1,4),有3x﹣3<k恒成立,

令m(x)=3x﹣3,x∈(1,4),

易知m(x)在(1,4)上遞增,∴m(x)<3×4﹣3=9,

∴k≥9,即實(shí)數(shù)k的取值范圍是[9,+∞)


【解析】(1)設(shè)g(x)=ax(a>0且a≠1),由a3=8解得a=2.故g(x)=2x . 再根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù),求出n的值,得到f(x)的解析式;(2)根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)和減函數(shù),轉(zhuǎn)化為即對一切x∈(1,4),有3tx﹣3<k恒成立,再利用函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值即可.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)奇偶性的性質(zhì)的相關(guān)知識點(diǎn),需要掌握在公共定義域內(nèi),偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù);奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù);奇數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除認(rèn)為奇函數(shù);偶數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù);一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復(fù)合函數(shù)的奇偶性:一個(gè)為偶就為偶,兩個(gè)為奇才為奇才能正確解答此題.

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【題目】設(shè)關(guān)于x的方程2x2﹣ax﹣2=0的兩根分別為α、β(αβ),函數(shù)

(1)證明f(x)在區(qū)間(α,β)上是增函數(shù);

(2)當(dāng)a為何值時(shí),f(x)在區(qū)間[α,β]上的最大值與最小值之差最。

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【題目】已知函數(shù)f(x)=loga ,g(x)=1+loga(x﹣1),(a>0且a≠1),設(shè)f(x)和g(x)的定義域的公共部分為D,
(1)求集合D;
(2)當(dāng)a>1時(shí).若不等式g(x﹣ )﹣f(2x)>2在D內(nèi)恒成立,求a的取值范圍;
(3)是否存在實(shí)數(shù)a,當(dāng)[m,n]D時(shí),f(x)在[m,n]上的值域是[g(n),g(m)],若存在,求實(shí)數(shù)a的取值范圍,若不存在說明理由.

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【題目】某中學(xué)將100名髙一新生分成水平相同的甲、乙兩個(gè)平行班”,每班50.陳老師采用AB兩種不同的教學(xué)方式分別在甲、乙兩個(gè)班級進(jìn)行教改實(shí)驗(yàn).為了解教學(xué)效果,期末考試后,陳老師對甲、乙兩個(gè)班級的學(xué)生成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,畫出頻率分布直方圖(如下圖).記成績不低于90分者為成績優(yōu)秀

 

0.05

0.01

0.001

 

3.841

6.635

10.828

(I)從乙班隨機(jī)抽取2名學(xué)生的成績,成績優(yōu)秀的個(gè)數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望

(II)根據(jù)頻率分布直方圖填寫下面2 x2列聯(lián)表,并判斷是否有95%的把握認(rèn)為:“成績優(yōu)秀與教學(xué)方式有關(guān).

甲班A方式)

乙班(B方式)

總計(jì)

成績優(yōu)秀

成績不優(yōu)秀

總計(jì)

附:

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