Question

5．在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，BC∥AD，AB⊥BC，側面PAB⊥底面ABCD，PA=AD=3，BC=6，PB=3$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）若PC中點為E，求證：DE∥平面PAB；
（Ⅱ）若∠PAB=60°，求直線DC與平面PAB成角的余弦值．

Answer 1

分析 （I）取PB的中點F，連結AF，EF．則四邊形ADEF為平行四邊形于是DE∥AF，從而DE∥平面PAB；
（II）過A作AG∥CD交BC于G，由面面垂直的性質得出BG⊥平面PAB，于是∠BAG為所求的角．

解答 證明（ I）取PB的中點F，連結AF，EF．
∴EF∥AD，EF=AD，∴四邊形ADEF為平行四邊形．
∴DE∥EF，又DE?平面PAB，AF?平面PAB，
∴DE∥平面PAB．
（ II）過A作AG∥CD交BC于G，
則四邊形ADCG是平行四邊形，
∴CG=AD=3，∴BG=3．
∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，BC⊥AB，
∴BC⊥平面PAB，
∴∠GAB為AG與平面PAB所成的角．
∵PA=3，PB=3$\sqrt{3}$，∠PAB=60°，
∴cos60°=$\frac{P{A}^{2}+A{B}^{2}-P{B}^{2}}{2PA•AB}$=$\frac{1}{2}$．解得AB=6．
∴AG=$\sqrt{A{B}^{2}+B{G}^{2}}$=3$\sqrt{5}$．
∴cos∠BAG=$\frac{AB}{AG}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∵CD∥AG，
∴直線DC與平面PAB成角的余弦值為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查了線面平行，線面垂直的判定，線面角的計算，屬于中檔題．