Question

（2012•眉山二模）對(duì)于函數(shù)y=f（x），我們把使f（x）=0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)，且有如下零點(diǎn)存在定理：如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f（a）•f（b＜0，那么，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點(diǎn)．給出下列命題：
①若函數(shù)y=f（x）有反函數(shù)，則f（x）有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；
②函數(shù)f（x）=2x³-3x+1有3個(gè)零點(diǎn)；
③函數(shù)y=

x2

6

和y=|log₂x|的圖象的交點(diǎn)有且只有一個(gè)；
④設(shè)函數(shù)f（x）對(duì)x∈R都滿足f（3+x）=f（3-x），且函數(shù)f（x）恰有6個(gè)不同的零點(diǎn)，則這6個(gè)零點(diǎn)的和為18；
其中所有正確命題的序號(hào)為

②④

．（把所有正確命題的序號(hào)都填上）

Answer 1

分析：①可通過舉指數(shù)函數(shù)的例子來說明此命題是錯(cuò)誤的；
②可研究函數(shù)的極值結(jié)合單調(diào)性判斷出函數(shù)的圖象與X軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)從而得出零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即可判斷命題的真假；
③構(gòu)造函數(shù)f（x）=

x2

6

-|log₂x|，通過零點(diǎn)存在定理研究函數(shù)有幾個(gè)零點(diǎn)，即可得出兩函數(shù)有幾個(gè)交點(diǎn)；
④函數(shù)f（x）對(duì)x∈R都滿足f（3+x）=f（3-x），可得出函數(shù)的圖象關(guān)于x=3對(duì)稱，由對(duì)稱性即可判斷出命題的真假．

解答：解：①若函數(shù)y=f（x）有反函數(shù)，則f（x）有且僅有一個(gè)零點(diǎn)是錯(cuò)誤的，譬如y=2^x，是單調(diào)函數(shù)，有反函數(shù)，但其函數(shù)值恒大于0，無零點(diǎn)；
②函數(shù)f（x）=2x³-3x+1有3個(gè)零點(diǎn)正確；由于f′（x）=6x²-3，可解得函數(shù)f（x）=2x³-3x+1在區(qū)間（-∞，-

2

2

）與（

2

2

，+∞）上是增函數(shù)，在（-

2

2

，

2

2

）是減函數(shù)，故函數(shù)存在極大值f（-

2

2

）＞0，極小值f（

2

2

）＜0，故函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)；
③函數(shù)y=

x2

6

和y=|log₂x|的圖象的交點(diǎn)有且只有一個(gè)是錯(cuò)誤的，可利用存在零點(diǎn)的條件f（a）f（b）＜0來解決這個(gè)問題，兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是函數(shù)f（x）=

x2

6

-|log₂x|的零點(diǎn)，
其中f（1）=

1

6

＞0，f（2）=-

1

3

＜0，f（4）=

2

3

＞0，所以在直線x=1右側(cè)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．一個(gè)在（1，2）內(nèi)，一個(gè)在（2，4）內(nèi)，故函數(shù)f（x）=

x2

6

-|log₂x|共有3個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)y=

x2

6

和y=|log₂x|的圖象有3個(gè)交點(diǎn)．
④設(shè)函數(shù)f（x）對(duì)x∈R都滿足f（3+x）=f（3-x），且函數(shù)f（x）恰有6個(gè)不同的零點(diǎn)，則這6個(gè)零點(diǎn)的和為18是正確的，由函數(shù)f（x）對(duì)x∈R都滿足f（3+x）=f（3-x），可得函數(shù)的圖象關(guān)于x=3對(duì)稱，又函數(shù)f（x）恰有6個(gè)不同的零點(diǎn)，此6個(gè)零點(diǎn)構(gòu)成三組關(guān)于x=3對(duì)稱的點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得出這6個(gè)零點(diǎn)的和為18．
故答案為②④

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)，利用零點(diǎn)存在定理判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，函數(shù)圖象的對(duì)稱性，涉及到的知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性強(qiáng)，屬于基礎(chǔ)知識(shí)與技巧訓(xùn)練題，解答時(shí)要嚴(yán)謹(jǐn)認(rèn)真，全面掌握相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)是迅速解題的保證