Question

5．若數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1+a_n=4n．
（Ⅰ）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）記{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，證明$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{1}{9{S}_{i}-1}$＜$\frac{5}{24}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）確定數(shù)列是以2為公差的等差數(shù)列，可得a_n=2n-1；
（Ⅱ）運(yùn)用等差數(shù)列的求和公式{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，然后對$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{1}{9{S}_{i}-1}$擴(kuò)大為=$\frac{1}{8}+\sum_{i=2}^{n}\frac{1}{（3i-1）（3i+1）}$，然后裂項(xiàng)求和即可．

解答 （Ⅰ）解：∵數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1+a_n=4n，
∴a₂+a₁=4，a₃+a₂=8，a₄+a₃=12，a₅+a₄=16，a₆+a₅=20，…，
∴a₂=3，a₃=5，a₄=7，a₅=9，a₆=11，…，
∴數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)以2為公差的等差數(shù)列，
∴a_n=2n-1，
（Ⅱ）證明：由以上可得，{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=n²；
所以$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{1}{9{S}_{i}-1}$=$\frac{1}{9-1}+\sum_{i=2}^{n}\frac{1}{9{S}_{i}-1}$
=$\frac{1}{8}+\sum_{i=2}^{n}\frac{1}{（3i-1）（3i+1）}$
＜$\frac{1}{8}+\sum_{i=2}^{n}\frac{1}{（3i-2）（3i+1）}$
=$\frac{1}{8}+\frac{1}{3}（\frac{1}{4}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{10}+…+\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}）$
=$\frac{1}{8}+\frac{1}{3}（\frac{1}{4}-\frac{1}{3n+1}）$＜$\frac{1}{8}+\frac{1}{3}×\frac{1}{4}$=$\frac{5}{24}$．

點(diǎn)評 本題考查了由數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)公式以及放縮法證明數(shù)列不等式；關(guān)鍵是將$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{1}{9{S}_{i}-1}$擴(kuò)大為=$\frac{1}{8}+\sum_{i=2}^{n}\frac{1}{（3i-1）（3i+1）}$，然后裂項(xiàng)求和．