Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=3，a_n+1-3a_n=3ⁿ（n∈N^*），數(shù)列{b_n}滿足b_n=

an

3n

（Ⅰ）求證：數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列．
（Ⅱ）設(shè)S_n=

a1

3

+

a2

4

+

a3

5

+…+

an

n+2

，求滿足不等式

1

128

＜

Sn

S2n

＜

1

4

的所有正整數(shù)n的值．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差關(guān)系的確定,數(shù)列與不等式的綜合

專題：計算題

分析：（I）由已知求出bn+1-bn=

an+1

3n+1

-

an

3n

=

an+1-3an

3n+1

=

3n

3n+1

=

1

3

滿足等差數(shù)列的定義．
（II）由題意可先求a_n，進一步求出 

an

n+2

=3n-1利用等比數(shù)列的前n項和公式求出S_n 求出滿足不等式

1

128

＜

Sn

S2n

＜

1

4

的所有正整數(shù)n的值．

解答： （I）證明：∵b_n=

an

3n

，a_n+1-3a_n=3ⁿ（n∈N^*），
∴bn+1-bn=

an+1

3n+1

-

an

3n

=

an+1-3an

3n+1

=

3n

3n+1

=

1

3

∴數(shù)列{b_n}是首項為1，公差為

1

3

的等差數(shù)列．
（II）bn=1+

1

3

(n-1)=

n+2

3

，
∵an=3nbn=(n+2)•3n-1，
∴

an

n+2

=3n-1，
∴S_n=

a1

3

+

a2

4

+

a3

5

+…+

an

n+2

=1+3+3²+3³…+3^n-1
=

1-3n

1-3

=

3n-1

2

，
∴S2n=

32n-1

2

，
∴

Sn

S2n

=

1

3n+1

，

1

128

＜

Sn

S2n

＜

1

4

∴

1

128

＜

1

3n+1

＜

1

4

解得1＜n＜5
∴n=2，3，4

點評：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式證明等差數(shù)列，及等差數(shù)列的通項公式的應(yīng)用，數(shù)列求和方法的應(yīng)用．