Question

對于函數(shù)，若存在 ，使成立，則稱點(diǎn)為函數(shù)的不動點(diǎn)。

（1）已知函數(shù)有不動點(diǎn)（1，1）和（-3，-3）求與的值；

（2）若對于任意實(shí)數(shù)，函數(shù)總有兩個相異的不動點(diǎn)，求 的取值范圍；

（3）若定義在實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)存在（有限的） 個不動點(diǎn)，求證：必為奇數(shù)。

Answer 1

（1），（2）（3）見解析

解析:

（1）由不動點(diǎn)的定義：，∴…….1’

代入知，又由及知�！�…………………...2’

     ∴，。   …………………………....................1’

（2）對任意實(shí)數(shù)，總有兩個相異的不動點(diǎn)，即是對任意的實(shí)數(shù)，方程總有兩個相異的實(shí)數(shù)根。...........1’

∴中，

即恒成立。………………………....................2’

故，∴。………….........................2’

故當(dāng)時(shí)，對任意的實(shí)數(shù)，方程總有兩個相異的不動點(diǎn)。  ………...................1’

（3）是R上的奇函數(shù)，則，∴（0，0）是函數(shù)的不動點(diǎn)。  ……..................1’

若有異于（0，0）的不動點(diǎn)，則。

又，∴是函數(shù)的不動點(diǎn)。

∴的有限個不動點(diǎn)除原點(diǎn)外，都是成對出現(xiàn)的，         ..........................4’

所以有個（），加上原點(diǎn)，共有個。即必為奇數(shù)