Question

設(shè)向量，定義一種向量積．

已知向量，，點(diǎn)為的圖象上的動點(diǎn)，點(diǎn)

為的圖象上的動點(diǎn)，且滿足（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）．

（1）請用表示；

（2）求的表達(dá)式并求它的周期；

（3）把函數(shù)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象.設(shè)函數(shù)，試討論函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

 

Answer 1

（1）；（2）參考解析；（3）參考解析

【解析】

試題分析：（1）由向量，定義一種向量積，所以，，所以根據(jù)新定義運(yùn)算關(guān)系可得到的結(jié)果. 點(diǎn)為的圖象上的動點(diǎn)，所以可以將用表示即可得結(jié)論.

（2）由（1）以及又可得.又點(diǎn)為的圖象上的動點(diǎn)，所以可求得函數(shù)的表達(dá)式并求它的周期.

（3）由（2）以及把函數(shù)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來的倍，即可得到函數(shù)的解析式，以及函數(shù)在遞增，分類討論即可得到結(jié)論.

（1）， 2分

（2），

所以， 4分

因此即 6分

所以，它的周期為． 8分

（3）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

又， 10分

函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)；

函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)或時(shí)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有零點(diǎn)． 12分

考點(diǎn)：1.三角函數(shù)的性質(zhì).2.向量的數(shù)量積.3.新定義問題.