Question

（1）已知△ABC的頂點(diǎn)A（0，-1），B（0，1），直線AC，直線BC的斜率之積等于m（m₀），求頂點(diǎn)C的軌跡方程，并判斷軌跡為何種圓錐曲線．
（2）已知圓M的方程為：（x+1）²+y²=（2a）²（a＞0，且a1），定點(diǎn)N（1，0），動(dòng)點(diǎn)P在圓M上運(yùn)動(dòng)，線段PN的垂直平分線與直線MP相交于點(diǎn)Q，求點(diǎn)Q軌跡方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)出頂點(diǎn)C的坐標(biāo)，由AC，BC所在直線的斜率之積等于m（m≠0）列式整理得到頂點(diǎn)C的軌跡E的方程，然后分m的不同取值范圍判斷軌跡E為何種圓錐曲線；
（2）連接QN，則|QN|=|QP|，分類討論，當(dāng)a＞1時(shí)，則點(diǎn)N在圓內(nèi)，有|QN|+|QM|=|QP|+|QM|=|MP|=2a＞|MN|；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，則點(diǎn)N在圓外，有|QN|-|QM|=|QP|-|QM|=|MP|=2a＜|MN|，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）設(shè)點(diǎn)C（x，y），由AC，BC所在直線的斜率之積等于m（m≠0），
得：

y-1

x

•

y+1

x

=m，化簡得：-mx²+y²=1（x≠0）．
當(dāng)m＜-1時(shí)，軌跡E表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，且除去（0，1），（0，-1）兩點(diǎn)；
當(dāng)m=-1時(shí)，軌跡E表示以（0，0）為圓心，半徑是1的圓，且除去（0，1），（0，-1）兩點(diǎn)；
當(dāng)-1＜m＜0時(shí)，軌跡E表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，且除去（0，1），（0，-1）兩點(diǎn)；
當(dāng)m＞0時(shí)，軌跡E表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，且除去（0，1），（0，-1）兩點(diǎn)．
（2）連結(jié)QN，則|QN|=|QP|，
當(dāng)a＞1時(shí)，則點(diǎn)N在圓內(nèi)，有|QN|+|QM|=|QP|+|QM|=|MP|=2a＞|MN|，
∴點(diǎn)Q的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)的橢圓，方程為：

x2

a2

+

y2

a2-1

=1．
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，則點(diǎn)N在圓外，有|QN|-|QM|=|QP|-|QM|=|MP|=2a＜|MN|，
∴點(diǎn)Q的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)的雙曲線，方程為：

x2

a2

-

y2

1-a2

=1

點(diǎn)評(píng)：本題考查了與直線有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)軌跡方程，考查了橢圓的簡單幾何性質(zhì)，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題．