Question

設各項均為正數(shù)的無窮數(shù)列{a_n}，{b_n}滿足：對任意n∈N^*都有2b_n=a_n+a_n+1且a_n+1²=b_n•b_n+1，
（1）求證：數(shù)列{

bn

}是等差數(shù)列；
（2）設a₁=1，a₂=3，b₁=2，求{a_n}和{b_n}的通項公式．

Answer 1

考點：等差數(shù)列的性質

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件得到b_nb_n-1+b_nb_n+1+2

bn-1•bn•bn•bn+1

=4b_n•b_n，由此能證明數(shù)列{

bn

}是等差數(shù)列．
（2）由已知條件推導出

bn

=

2

2

(n+1)，由此能求出{a_n}和{b_n}的通項公式．

解答： （1）證明：a_n+a_n+1=2b_n，①
b_nb_n+1=a_n+1²，②
②式兩邊開方得：a_n+1=

bnbn+1

=

bn

•

bn+1

，③
①式兩邊平方，展開，然后將③代入，得：
b_nb_n-1+b_nb_n+1+2

bn-1•bn•bn•bn+1

=4b_n•b_n，④
整理，得

bn-1

+

bn+1

=2

bn

，
∴數(shù)列{

bn

}是等差數(shù)列．
（2）∵a₁=1，a₂=3，b₁=2，且a_n+1²=b_n•b_n+1，
∴b₂=

a22

b1

=

9

2

，

b2

-

b1

=

9 2

-

2

=

2

2

，
∴

bn

=

2

+（n-1）×

2

2

=

2

2

(n+1)，
∴b_n=

1

2

(n+1)2，
∵a_n+1²=b_n•b_n+1，
∴a_n=

bn-1•bn

=

1 2 n2• 1 2 (n+1)2

=

1

2

n(n+1)．

點評：本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項公式的求法，解題時要認真審題，注意等價轉化思想的合理運用．