Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，BC⊥平面PAB，且PA=P，O是AB的中點，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，BC=1，AB=2，AD=3．
（1）求證：平面PAC⊥平面POC；
（2）若PA=3，Q是PB的中點，求三棱錐Q-OBC與三棱錐P-OCD的體積比．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）因為PA=PB，O為AB的中點，所以PO⊥AB又因為：BC⊥平面PAB，PO?側(cè)面PAB，所以BC⊥PO又因為AB∩BC=B，所以PO⊥底面ABCD，又因為CD?底面ABCD．所以PO⊥CD，在Rt△OBC中，OC²=OB²+BC²=2，在Rt△OAD中，OD²=OA²+AD²=10，在直角梯形ABCD中，CD²=AB²+（AD-BC）²=8，因為：OC²+CD²=OD²所以O(shè)C⊥CD
OC，PO是平面POC內(nèi)的兩條相交直線，所以CD⊥平面POC 又因為CD?平面PCD，所以平面PCD⊥平面POC
（2）解：在三棱錐P-OCD中，高PO=

PA2-OA2

=2

2

，由（1）得OC⊥CD，S△=

1

2

CD•OC=2
又因為Q是PB的中點，故三棱錐Q-OBC的高h(yuǎn)=

1

2

PO=

2

，S△OBC=

1

2

三棱錐Q-OBC與三棱錐P-OCD的體積比為

1

8

．

解答： （1）證明：因為PA=PB，O為AB的中點，
所以PO⊥AB，
又因為：BC⊥平面PAB，PO?側(cè)面PAB，所以BC⊥PO，
又因為AB∩BC=B，所以PO⊥底面ABCD，
又因為CD?底面ABCD，
所以PO⊥CD，
在Rt△OBC中，OC²=OB²+BC²=2，
在Rt△OAD中，OD²=OA²+AD²=10，
在直角梯形ABCD中，CD²=AB²+（AD-BC）²=8，
因為：OC²+CD²=OD²
所以O(shè)C⊥CD，
OC，PO是平面POC內(nèi)的兩條相交直線，
所以CD⊥平面POC 又因為CD?平面PCD，
所以平面PCD⊥平面POC；
（2）解：在三棱錐P-OCD中，高PO=

PA2-OA2

=2

2

，
由（1）得OC⊥CD，
S△=

1

2

CD•OC=2，
又因為Q是PB的中點，故三棱錐Q-OBC的高h(yuǎn)=

1

2

PO=

2

，
S△OBC=

1

2

，
三棱錐Q-OBC與三棱錐P-OCD的體積比=

1 2 • 1 3 • 2

1 3 •2•2 2

=

1

8

．
故答案為：（1）略
（2）

1

8

．

點評：本題考查的知識要點：勾股定理的應(yīng)用，線面垂直的判定，面面垂直的判定，錐體的體積公式的應(yīng)用及相關(guān)的運(yùn)算問題．