Question

【題目】已知函數(shù)（a為負(fù)整數(shù)）的圖像經(jīng)過點.

（1）求的解析式；

（2）設(shè)函數(shù)，若在上解集非空，求實數(shù)b的取值范圍；

（3）證明：方程有且僅有一個解．

Answer 1

【答案】（1）．（2）（3）見解析﹔

【解析】

（1）在中令得，故，因為為負(fù)整數(shù)，所以為正整數(shù)，當(dāng)時，利用判別式可判斷此不等式無解，所以，解得，從而可得的解析式；

（2）在，上解集非空轉(zhuǎn)化為在，上有解，再構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化為最小值可得；（3）即證與的圖象有且只有一個交點，證明時，與的圖象無交點，在上有且只有一個零點，即得證.

（1）在中令得，

，

因為為負(fù)整數(shù)，所以為正整數(shù)，

當(dāng)時，，因為△，所以

無解，

所以，解得或，所以，

，

（2）在，上解集非空在，上有解，

令，則，

因為函數(shù)在，上是減函數(shù)，

所以時，（3），

故．

（3）證明：即證與的圖象有且只有一個交點，

當(dāng)時，，

即時，與的圖象無交點，

當(dāng)時，令，

因為函數(shù)在上為遞減函數(shù)，函數(shù)在上為遞減函數(shù)，

所以在上為遞減函數(shù)（減函數(shù)+減函數(shù)=減函數(shù)），

又時，，時，，根據(jù)零點存在性定理知：在上有且只有一個零點，

綜上得有且只有一個解．