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9.若橢圓的中點(diǎn)在原點(diǎn),一個焦點(diǎn)為(0,2),直線y=3x+7與橢圓相交所得弦的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1,則這個橢圓的方程為x28+y212=1.

分析 由題意設(shè)出橢圓方程,和直線方程聯(lián)立后化為關(guān)于y的一元二次方程,然后利用根與系數(shù)關(guān)系求解.

解答 解:焦點(diǎn)為(0,2),焦點(diǎn)位于y軸,且c=2,
則a2-b2=4,
∴可設(shè)橢圓方程為y22+4+x22=1,
{y=3x+7y22+4+x22=1,得(10b2+4)y2-14(b2+4)y-9b4+13b2+196=0,
設(shè)直線y=3x+7與橢圓相交所得弦的端點(diǎn)為(x1,y1),(x2,y2),
∴y1+y2=142+4102+4=2,
解得:b2=8.
∴a2=12.
x28+y212=1.
故答案為:x28+y212=1.

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的簡單幾何性質(zhì),考查了橢圓方程的求法,涉及直線與圓錐曲線關(guān)系問題,常采用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解,是中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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