Question

已知下列命題四個(gè)命題：
①函數(shù)y=sin(

π

4

-2x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

](k∈Z)；
②若x是第一象限的角，則y=sinx是增函數(shù)；
③α，β∈(0，

π

2

)，且cosα＜sinβ，則α+β＞

π

2

；
④若sinx+siny=

1

3

，則siny-cos²x的最大值是

4

3

．
其中真命題的個(gè)數(shù)有（　�。�

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：①先利用誘導(dǎo)公式將函數(shù)變形，再利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法，通過(guò)解不等式得其單調(diào)增區(qū)間；②ysinx在（2kπ，2kπ+

π

2

）上為增函數(shù)不同于在第一象限是增函數(shù)，注意區(qū)別；③先利用誘導(dǎo)公式將三角不等式兩邊化為同名函數(shù)且將角化到同一單調(diào)區(qū)間上，即可利用單調(diào)性得角的關(guān)系；④先將所求三角式化為關(guān)于sinx的二次函數(shù)，再求sinx的取值范圍，進(jìn)而利用二次函數(shù)的圖象求函數(shù)的最大值即可

解答：解：①函數(shù)y=sin(

π

4

-2x)=-sin（2x-

π

4

），由2kπ+

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

3π

2

，得x∈[kπ+

3π

8

，kπ+

7π

8

]，故函數(shù)y=sin(

π

4

-2x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[kπ+

3π

8

，kπ+

7π

8

]，①錯(cuò)誤；
②

π

3

＜2π+

π

6

，且均為第一象限角，但sin

π

3

＞sin（2π+

π

6

），故②錯(cuò)誤；
③cosα＜sinβ，即sin（

π

2

-α）＜sinβ，∵α，β∈(0，

π

2

)，∴

π

2

-α∈(0，

π

2

)，y=sinx在(0，

π

2

)上單調(diào)遞增，∴

π

2

-α＜β，即α+β＞

π

2

，③正確；
④siny-cos²x=

1

3

-sinx-1+sin²x=sin²x-sinx-

2

3

=（sinx-

1

2

）²-

11

12

，∵-1≤siny=

1

3

-sinx≤1，∴-

2

3

≤sinx≤1，∴當(dāng)sinx=-

2

3

時(shí)，siny-cos²x的最大值是

4

9

，④錯(cuò)誤
∴真命題只有③
故選 A

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，誘導(dǎo)公式的運(yùn)用，三角函數(shù)求值域的方法，及y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法等基礎(chǔ)知識(shí)