Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C₁：（x+1）²+y²=1，圓C₂：（x-3）²+（y-4）²=1．
（Ⅰ）若過點C₁（-1，0）的直線l被圓C₂截得的弦長為

6

5

，求直線l的方程；
（Ⅱ）圓D是以1為半徑，圓心在圓C₃：（x+1）²+y²=9上移動的動圓，若圓D上任意一點P分別作圓C₁的兩條切線PE，PF，切點為E，F(xiàn)，求

C1E

•

C1F

的取值范圍；
（Ⅲ）若動圓C同時平分圓C₁的周長、圓C₂的周長，則動圓C是否經(jīng)過定點？若經(jīng)過，求出定點的坐標(biāo)；若不經(jīng)過，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）設(shè)直線l的方程為y=k（+1），根據(jù)直線l被圓C₂截得的弦長為

6

5

，利用勾股定理，求出k，即可求直線l的方程；
（Ⅱ）動圓D是圓心在定圓（x+1）²+y²=9上移動，半徑為1的圓，由圓的幾何性質(zhì)得，|DC₁|-r≤|PC₁|≤|DC₁|+r，即2≤|PC₁|≤4，4≤|PC1|2≤16，利用向量的數(shù)量積公式，即可求

C1E

•

C1F

的取值范圍；
（Ⅲ）確定動圓圓心C在定直線x+y-3=0上運動，求出動圓C的方程，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)直線l的方程為y=k（+1），即kx-y+k=0．       
因為直線l被圓C₂截得的弦長為

6

5

，而圓C₂的半徑為1，
所以圓心C₂（3，4）到l：kx-y+k=0的距離為

|4k-4|

k2+1

=

4

5

．
化簡，得12k²-25k+12=0，解得k=

4

3

或k=

3

4

．
所以直線l方程為4x-3y+4=0或3x-4y+3=0           …（4分）
（Ⅱ）動圓D是圓心在定圓（x+1）²+y²=9上移動，半徑為1的圓
設(shè)∠EC₁F=2α，則在Rt△PC₁E中，cosα=

|C1E|

|PC1|

=

1

|PC1|

，
有cos2α=2cos2α-1=

2

|PC1|2

-1，
則

C1E

•

C1F

=|

C1E

||

C1F

|cos2α=cos2α=

2

|PC1|2

-1
由圓的幾何性質(zhì)得，|DC₁|-r≤|PC₁|≤|DC₁|+r，即2≤|PC₁|≤4，4≤|PC1|2≤16
則

C1E

•

C1F

的最大值為-

1

2

，最小值為-

7

8

．
故

C1E

•

C1F

∈[-

7

8

，-

1

2

]．…（8分）
（Ⅲ）設(shè)圓心C（x，y），由題意，得CC₁=CC₂，
即

(x+1)2+y2

=

(x-3)2+(y-4)2

．
化簡得x+y-3=0，即動圓圓心C在定直線x+y-3=0上運動．
設(shè)C（m.3-m），則動圓C的半徑為

1+CC12

=

(1+(m+1)2+(3-m)2

．
于是動圓C的方程為（x-m）²+（y-3+m）²=1+（m+1）²+（3-m）²．
整理，得x²+y²-6y-2-2m（x-y+1）=0．
由

x-y+1=0 x2+y2-6y-2=0

得

x=1+ 3 2 2 y=2+ 3 2 2

或

x=1- 3 2 2 y=2- 3 2 2

所以定點的坐標(biāo)為（1-

3

2

2

，2-

3

2

2

），（1+

3

2

2

，2+

3

2

2

） …（13分）

點評：本題考查直線與圓的方程，考查向量知識的運用，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．