Question

函數(shù)f（x）=Asinωx（A＞0，ω＞0）在一個周期內(nèi)圖象如圖所示，其最高點(diǎn)為M，最低點(diǎn)為N，與x軸正半軸交點(diǎn)為P，在△MNP中，∠MNP=30°，MP=2．
（1）判斷△MNP的形狀，并給予證明；
（2）求函數(shù)f（x）的解析式，并求f（x）最大值及此時x的值．

Answer 1

分析：（1）由已知中函數(shù)f（x）=Asinωx（A＞0，ω＞0）在一個周期內(nèi)圖象最高點(diǎn)為M，最低點(diǎn)為N，與x軸正半軸交點(diǎn)為P，△MNP中，∠MNP=30°，MP=2我們易得MN=4，利用正弦定理求了∠MPN的大小，即可判斷△MNP的形狀．
（2）由（1）中結(jié)論，我們易同M點(diǎn)及P點(diǎn)的坐標(biāo)，代入分別計(jì)算出函數(shù)的最值，周期，進(jìn)而求出A，ω，φ的值，即可得到函數(shù)的解析式，進(jìn)而求出f（x）最大值及此時x的值．

解答：解：由函數(shù)的對稱性知：MN=2MO=2MP，∵M(jìn)P=2，∴MN=4…（3分）
在△MNP中，

MN

sin∠MPN

=

MP

sin∠MNP

，∴

4

sin∠MNP

=

2

sin300

解得：sin∠MPN=1…（5分）∴∠MPN=90°，所以△MNP為直角三角形；…（6分）
（2）由（1）得：△MOP為等邊三角形，…（7分）
故M(1，

3

)，P(2，0)…（8分）
∴A=

3

，T=4，∵ω＞0，∴ω=

2π

4

=

π

2

∴f(x)=

3

sin

π

2

x…（10分）
f（x）最大值為

3

，此時

π

2

x=2kπ+

π

2

，即x=4k+1(k∈Z)…（13分）

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，三角形形狀的判斷，其中（1）的關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)圖象的對稱性質(zhì)，求出MN=4，（2）的關(guān)鍵是根據(jù)（1）中結(jié)論計(jì)算出函數(shù)的最值，周期，進(jìn)而求出A，ω，φ的值．