已知橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(1,),兩個(gè)焦點(diǎn)是F1(-1,0)和F2(1,0)
(I)求橢圓C的方程;
(II)若A、B為橢圓C的左、右頂點(diǎn),P是橢圓C上異于A、B的動(dòng)點(diǎn),直線AP 與橢圓在點(diǎn)B處的切線交于點(diǎn)D,當(dāng)直線AP繞點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),求證:以BD為直徑的圓與直線的圓與直線PF2相切.

【答案】分析:(I)設(shè)橢圓C的方程為(a>b>0),求出M到焦點(diǎn)的距離,利用橢圓的定義,即可求得橢圓C的方程;
(II)設(shè)直線AP的方程,代入橢圓方程,利用韋達(dá)定理,求得P的坐標(biāo),分類討論,證明圓心E到直線PF2的距離等于半徑,即可求得結(jié)論.
解答:(I)解:設(shè)橢圓C的方程為(a>b>0)
∵M(jìn)(1,),兩個(gè)焦點(diǎn)是F1(-1,0)和F2(1,0)
∴|MF1|=,
∴2a=|MF1|+|MF2|=4
∴a=2
=
∴橢圓C的方程為;
(II)證明:由題意,A(-2,0),B(2,0),設(shè)直線AP:y=k(x+2)(k≠0),則D(2,4k),|BD|=4|k|,BD中點(diǎn)E(2,2k),以BD為直徑的圓E方程是(x-2)2+(y-4k)2=4k2,
直線方程代入橢圓方程,消去y可得(3+4k2)+16k2x+16k2-12=0
設(shè)P(x,y),則
當(dāng)直線PF2⊥x軸時(shí),∵F2(1,0),∴
以BD為直徑的圓(x-2)2+(y±1)2=1與直線PF2相切;
當(dāng)直線PF2與x軸不垂直時(shí),,直線PF2的斜率為,方程為4kx-(1-4k2)y-4k=0
圓心E到直線PF2的距離為
∴以BD為直徑的圓與直線PF2相切,
綜上可得,以BD為直徑的圓與直線的圓與直線PF2相切.
點(diǎn)評(píng):本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查橢圓的定義,考查直線與圓的位置關(guān)系,利用圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系是關(guān)鍵.
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(2013•臨沂三模)已知橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(1,
32
)
,其左頂點(diǎn)為N,兩個(gè)焦點(diǎn)為(-1,0),(1,0),平行于MN的直線l交橢圓于A,B兩個(gè)不同的點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)求證:直線MA,MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形.

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