Question

6．已知函數(shù)$f（x）=xlnx+\frac{3}{2}$．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（II）若對定義域內(nèi)任意的x，$f（x）≥\frac{{-{x^2}+mx}}{2}$恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；
（Ⅱ）問題轉(zhuǎn)化為m≤$\frac{2x•lnx{+x}^{2}+3}{x}$，令h（x）=$\frac{2x•lnx{+x}^{2}+3}{x}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出h（x）的最小值，從而求出m的最大值即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）的定義域是（0，+∞），
f′（x）=lnx+1，
由f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{e}$，
∴f（x）在（$\frac{1}{e}$，+∞）遞增，
f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{1}{e}$，
∴f（x）在（0，$\frac{1}{e}$）遞減，
∴f（x）在x=$\frac{1}{e}$處取得極小值，極小值是f（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{1}{e}$+$\frac{3}{2}$；
（Ⅱ）∵2f（x）≥-x²+mx-3，
即m≤$\frac{2x•lnx{+x}^{2}+3}{x}$，
令h（x）=$\frac{2x•lnx{+x}^{2}+3}{x}$，
h′（x）=$\frac{{x}^{2}+2x-3}{{x}^{2}}$=$\frac{（x+3）（x-1）}{{x}^{2}}$
令h′（x）＞0，解得：x＞1，令h′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
故h（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增，
∴h（x）_min=h（1）=4，
故m≤4，m的最大值是4．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．