【題目】已知函數,.
(1)當為何值時,軸為曲線的切線;
(2)用表示中的最小值,設函數,討論零點的個數.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)當或時,由一個零點;當或時,有兩個零點;當時,有三個零點.
【解析】試題分析:(Ⅰ)先利用導數的幾何意義列出關于切點的方程組,解出切點坐標與對應的值;(Ⅱ)根據對數函數的圖像與性質將分為研究的零點個數,若零點不容易求解,則對再分類討論.
試題解析:(Ⅰ)設曲線與軸相切于點,則,,即,解得.
因此,當時,軸是曲線的切線.
(Ⅱ)當時,,從而,
∴在(1,+∞)無零點.
當=1時,若,則,,故=1是的零點;若,則,,故=1不是的零點.
當時,,所以只需考慮在(0,1)的零點個數.
(ⅰ)若或,則在(0,1)無零點,故在(0,1)單調,而,,所以當時,在(0,1)有一個零點;當0時,在(0,1)無零點.
(ⅱ)若,則在(0,)單調遞減,在(,1)單調遞增,故當=時,取的最小值,最小值為=.
①若>0,即<<0,在(0,1)無零點.
②若=0,即,則在(0,1)有唯一零點;
③若<0,即,由于,,所以當時,在(0,1)有兩個零點;當時,在(0,1)有一個零點.…10分
綜上,當或時,由一個零點;當或時,有兩個零點;當時,有三個零點.
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【題目】已知函數f(x)=(2﹣a)lnx+ +2ax(a≤0).
(1)當a=0時,求f(x)的極值;
(2)當a<0時,討論f(x)的單調性;
(3)若對任意的a∈(﹣3,﹣2),x1 , x2∈[1,3],恒有(m+ln3)a﹣2ln3>|f(x1)﹣f(x2)|成立,求實數m的取值范圍.
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【題目】定義在R上的函數y=f(x)為減函數,且函數y=f(x﹣1)的圖象關于點(1,0)對稱,若f(x2﹣2x)+f(2b﹣b2)≤0,且0≤x≤2,則x﹣b的取值范圍是( )
A.[﹣2,0]
B.[﹣2,2]
C.[0,2]
D.[0,4]
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【題目】如圖,在多面體ABCDEF中,四邊形ABCD為邊長為4的正方形,M是BC的中點,EF∥平面ABCD,且EF=2,AE=DE=BF=CF= .
(1)求證:ME⊥平面ADE;
(2)求二面角B﹣AE﹣D的余弦值.
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【題目】已知橢圓:,離心率為,并過點.
(1)求橢圓方程;
(2)若直線與橢圓相交于兩點(不是左右頂點),且以為直徑的圓過橢圓的右頂點。求證:直線過定點,并求出該定點的坐標.
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【題目】某工藝廠有銅絲5萬米,鐵絲9萬米,準備用這兩種材料編制成花籃和花盆出售,已知一只花籃需要用銅絲200米,鐵絲300米;編制一只花盆需要100米,鐵絲300米,設該廠用所有原來編制個花籃, 個花盆.
(Ⅰ)列出滿足的關系式,并畫出相應的平面區(qū)域;
(Ⅱ)若出售一個花籃可獲利300元,出售一個花盤可獲利200元,那么怎樣安排花籃與花盆的編制個數,可使得所得利潤最大,最大利潤是多少?
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【題目】為振興旅游業(yè),四川省2009年面向國內發(fā)行總量為2000萬張的熊貓優(yōu)惠卡,向省外人士發(fā)行的是熊貓金卡(簡稱金卡),向省內人士發(fā)行的是熊貓銀卡(簡稱銀卡).某旅游公司組織了一個有36名游客的旅游團到四川名勝旅游,其中 是省外游客,其余是省內游客.在省外游客中有 持金卡,在省內游客中有 持銀卡.
(Ⅰ)在該團中隨機采訪3名游客,求恰有1人持金卡且持銀卡者少于2人的概率;
(Ⅱ)在該團的省內游客中隨機采訪3名游客,設其中持銀卡人數為隨機變量ξ,求ξ的分布列及數學期望Eξ.
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