Question

17．已知曲線y=f（x）=$\frac{1}{x}$．
（1）求曲線在點(diǎn)P（1，1）處的切線方程；
（2）求曲線過(guò)點(diǎn)Q（1，0）的切線方程；
（3）求滿足斜率為-$\frac{1}{2}$的曲線的切線方程．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由點(diǎn)斜式方程可得切線的方程；
（2）設(shè)切點(diǎn)為（m，$\frac{1}{m}$），求得切線的斜率，由兩點(diǎn)的斜率公式，解方程可得m，進(jìn)而得到切線的方程；
（3）設(shè)切點(diǎn)為（n，$\frac{1}{n}$），由切線的斜率，解得n，再由點(diǎn)斜式方程可得所求切線的方程．

解答 解：（1）y=f（x）=$\frac{1}{x}$的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$，
曲線在點(diǎn)P（1，1）處的切線斜率為-1，
可得曲線在點(diǎn)P（1，1）處的切線方程為y-1=-（x-1），
即為y=-x+2；
（2）設(shè)切點(diǎn)為（m，$\frac{1}{m}$），
可得切線的斜率為-$\frac{1}{{m}^{2}}$，
即有-$\frac{1}{{m}^{2}}$=$\frac{\frac{1}{m}}{m-1}$，解得m=$\frac{1}{2}$，
即有切線的方程為y=-4（x-1），
即為y=-4x+4；
（3）設(shè)切點(diǎn)為（n，$\frac{1}{n}$），
可得切線的斜率為-$\frac{1}{{n}^{2}}$=-$\frac{1}{2}$，
解得n=±$\sqrt{2}$，
可得切點(diǎn)為（$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），（-$\sqrt{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
即有切線的方程為y-$\frac{\sqrt{2}}{2}$=-$\frac{1}{2}$（x-$\sqrt{2}$），
即為y=-$\frac{1}{2}$x+$\sqrt{2}$；
或y=-$\frac{1}{2}$x-$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，注意在某點(diǎn)處和過(guò)某點(diǎn)的切線的區(qū)別，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題和易錯(cuò)題．