Question

（本小題滿分13分）

如圖，橢圓的頂點(diǎn)為，焦點(diǎn)為，.

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

 (Ⅱ)設(shè)n 為過原點(diǎn)的直線，是與n垂直相交于P點(diǎn)，與橢圓相交于A, B兩點(diǎn)的直線，.是否存在上述直線使成立？若存在，求出直線的方程；并說出；若不存在，請(qǐng)說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）

(Ⅱ) 使成立的直線不存在.

【解析】本題主要考查圓錐曲線，以及運(yùn)用代數(shù)的思想來解決橢圓和直線之間的一些幾何問題，讓考生充分體會(huì)解析幾何的本質(zhì)，也考查考生做題的仔細(xì)程度．

(Ⅰ)由知a²+b²=7,                ①

由知a=2c,           ②

又b²=a²-c²                                     ③

由 ①，②，③解得a²=4,b²=3,

故橢圓C的方程為

 (Ⅱ) 設(shè)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為

假設(shè)使成立的直線l存在，

(i)  當(dāng)l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)l的方程為,

由l與n垂直相交于P點(diǎn)且得

，即.

由得

將代入橢圓方程，得

 ，

由求根公式可得                  ④

                                   ⑤

 

 

將④，⑤代入上式并化簡(jiǎn)得

           ⑥

將代入⑥并化簡(jiǎn)得，矛盾.

即此時(shí)直線不存在.

（ii）當(dāng)垂直于軸時(shí)，滿足的直線的方程為，

則A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為或

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，

∴ 此時(shí)直線也不存在.

綜上可知，使成立的直線不存在.

點(diǎn)評(píng)：本題主要對(duì)圓錐曲線中的橢圓進(jìn)行了考查，問題的設(shè)置上比較簡(jiǎn)單，但第二問運(yùn)算量大，學(xué)生不易得分，是一道即考查學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)又考查運(yùn)算，分析能力的題．