Question

已知函數(shù)f（x）=ln（ax+b）的圖象在x=1處的切線方程為y=

1

2

x-

1

2

+ln2．
（1）證明：方程f（x）-x=0有且只有一個(gè)實(shí)根；
（2）若s，t∈（0，+∞），且s＜t時(shí)，試證明：（1+s）^ef（t-1）＞（1+t）^ef（s-1）．

Answer 1

分析：（1）利用已知條件，容易求出a，b的值，即求出f（x），構(gòu)造新函數(shù)g（x）=ln（x+1）-x，令g′（x）=0，得x=0，判斷g（x）在（-1，0），（0，+∞）上的單調(diào)性，即可證明g（x）只有一個(gè)實(shí)根x=0．
（2）從所要證明的不等式看，構(gòu)造新的函數(shù)f（t-1）=lnt，即需要證明（1+s）^t＞（1+t）^s，利用不等式的分析法證明，其中離不開利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)單調(diào)的方法步驟．

解答：解：（1）f′（x）=

a

ax+b

，由已知條件得

f′(1)= a a+b = 1 2 f(1)=ln(a+b)=ln2

，
解得a=b=1，即f（x）=ln（x+1），
∴f（x）-x=ln（x+1）-x=0．
設(shè)g（x）=ln（x+1）-x，
則由g′（x）=

1

x+1

-1=0得x=0，
且當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，g′（x）＞0，
故g（x）在（-1，0）上單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，g′（x）＜0，
故g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
∴g（x）_max=g（0）=0，即g（x）≤0，
當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)有g(shù)（x）=0．
故方程f（x）-x=0有且只有一個(gè)實(shí)根x=0．
（2）由（1）知f（t-1）=ln（1+t-1）=lnt，
e^f（t-1）=e^lnt=t，同理e^f（s-1）=s．
∴所證不等式即（1+s）^t＞（1+t）^s，
由0＜s＜t，將不等式兩邊取對數(shù)，得tln（1+s）＞sln（1+t），
即證

ln(1+s)

s

＞

ln(1+t)

t

，
構(gòu)造函數(shù)h（x）=

ln(1+x)

x

（x＞0），
則h′（x）=

x-(1+x)ln(1+x)

(1+x)•x2

，顯然（1+x）x²＞0，
設(shè)I（x）=x-（1+x）ln（x+1），
則當(dāng)x＞0時(shí)，有I′（x）=-ln（x+1）＜0，
故I（x）在[0，+∞）上為減函數(shù)，
∴當(dāng)x＞0時(shí)，I（x）＜I（x）=0，
從而h′（x）＜0，∴h（x）在（0，+∞）上為單調(diào)遞減函數(shù)，
∵0＜s＜t，∴h（s）＞h（t），即

ln(1+s)

s

＞

ln(1+t)

t

成立，結(jié)論得證．

點(diǎn)評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，并構(gòu)造新的函數(shù)，反復(fù)利用求解函數(shù)單調(diào)的方法步驟，是函數(shù)的重點(diǎn)和難點(diǎn)．值得我們在學(xué)習(xí)中加以重視．