Question

16．若函數(shù)f（x）=x²-2x+alnx存在兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂（x₁＜x₂），則t＜$\frac{f（{x}_{1}）}{{x}_{2}}$恒成立，則t（　　）

• A． 有最大值-$\frac{3}{2}-$ln2，無(wú)最小值
• B． 有最小值-$\frac{3}{2}$-ln2，無(wú)最大值
• C． 無(wú)最大值也無(wú)最小值
• D． 有最大值4ln2，且有最小值-$\frac{3}{2}$-ln2

Answer 1

分析 根據(jù)f（x）存在兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂，且x₁＜x₂．轉(zhuǎn)化成一元二次方程2x²-2x+a=0的兩個(gè)根x₁，x₂，且0＜x₁＜x₂，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，將x₁用x₂表示，求得$\frac{f（{x}_{1}）}{{x}_{2}}$的表達(dá)式，再求最值．

解答 解：函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
f′（x）=$2x-2+\frac{a}{x}=\frac{2{x}^{2}-2x+a}{x}$，
∵f（x）存在兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂，且x₁＜x₂．
∴f′（x）=0有兩個(gè)不同的根x₁，x₂，且0＜x₁＜x₂，
∴x₁，x₂是一元二次方程2x²-2x+a=0的兩個(gè)根，
由x₁+x₂=1，x₁x₂=$\frac{a}{2}$，則a=2x₂（1-x₂），
f（x₁）=x₁²-2x₁+alnx₁
=（1-x₂）${\;}^{{\;}^{2}}$-2（1-x₂）+2x₂（1-x₂）ln（1-x₂）．$\frac{1}{2}$＜x₂＜1，
所以$\frac{f（{x}_{1}）}{{x}_{{\;}_{2}}}$=x₂+2（1-x₂）ln（1-x₂）-$\frac{1}{{x}_{2}}$．$\frac{1}{2}$＜x₂＜1，
令g（x）=x+2（1-x）ln（1-x）-$\frac{1}{x}$，$\frac{1}{2}$＜x＜1，
g′（x）=1-2ln（1-x）-2+$\frac{1}{{x}^{2}}$=-1-2ln（1-x）+$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0，
所以g（x）是增函數(shù)，所以x=$\frac{1}{2}$時(shí)，g（$\frac{1}{2}$）=$-\frac{3}{2}$-ln2；x→1時(shí)，g（x）→0；
所以t$≤-\frac{3}{2}$-ln2，沒(méi)有最小值；
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及不等式成立的綜合應(yīng)用，同時(shí)考查了根與系數(shù)的關(guān)系，化簡(jiǎn)比較繁瑣，注意要細(xì)心，屬于難題．