已知圓C的圓心坐標(biāo)為C(2,-1),且被直線x-y-1=0所截得弦長(zhǎng)是2
2
,
(1)求圓的方程;
(2)已知A為直線l:x-y+1=0上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A的直線與圓相切于點(diǎn)B,求切線段|AB|的最小值.
分析:(1)利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心C到已知x-y-1=0的距離d,由弦長(zhǎng)的一半及弦心距,利用垂徑定理及勾股定理求出圓的半徑,由圓心與半徑寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可;
(2)利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心C到直線x-y+1=0的距離,此距離為圓心到直線的最短距離,此時(shí)垂足為A的位置,由圓的半徑,利用勾股定理求出此時(shí)切相等的長(zhǎng)即可.
解答:解:(1)∵圓心C(2,-1)到直線x-y-1=0的距離d=
2+1-1
2
=
2
,截取的弦長(zhǎng)為2
2
,
∴圓的半徑r=
(
2
)
2
+(
2
2
2
)
2
=2,
則圓C的方程為(x-2)2+(y+1)2=4;
(2)∵圓心C(2,-1)到直線x-y+1=0的距離為
2+1+1
2
=2
2
,半徑為2,
∴切線段|AB|的最小值為
(2
2
)
2
-22
=2.
點(diǎn)評(píng):此題考查了直線與圓相交的性質(zhì),涉及的知識(shí)有:勾股定理,點(diǎn)到直線的距離公式,以及垂線段最短,當(dāng)直線與圓相交時(shí),常常根據(jù)垂徑定理由垂直得中點(diǎn),進(jìn)而由弦長(zhǎng)的一半,圓的半徑以及弦心距構(gòu)造直角三角形,利用勾股定理來(lái)解決問(wèn)題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(1)已知矩陣M=
0
1
1
0
,N=
0
1
-1
0
.在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)直線2x-y+1=0在矩陣MN對(duì)應(yīng)的變換作用下得到的曲線F,求曲線F的方程.
(2)在極坐標(biāo)系中,已知圓C的圓心坐標(biāo)為C (2,
π
3
),半徑R=
5
,求圓C的極坐標(biāo)方程.
(3)已知a,b為正數(shù),求證:
1
a
+
4
b
9
a+b

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知圓C的圓心坐標(biāo)為(2,-3),一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分別在x軸和y軸上,則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為
(x-2)2+(y+3)2=13
(x-2)2+(y+3)2=13

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,已知圓C的圓心坐標(biāo)為(1,-1),且過(guò)點(diǎn)M(2,-1).
(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過(guò)點(diǎn)N(-1,-2)且斜率為1的直線l與圓C相交于A、B兩點(diǎn),求線段AB的長(zhǎng).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在極坐標(biāo)系中,已知圓C的圓心坐標(biāo)為C(2,
π
3
),半徑R=
5
,求圓C的極坐標(biāo)方程.

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