3.已知等腰直角△ABC,AB=AC=4,點P,Q分別在邊AB,BC上,$(\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{BQ})•\overrightarrow{BC}$=0,$\overrightarrow{PM}=2\overrightarrow{PQ}$,$\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AN}$=$\overrightarrow 0$,直線MN經(jīng)過△ABC的重心,則|$\overrightarrow{AP}$|=( 。
A.$\frac{4}{3}$B.2C.$\frac{8}{3}$D.1

分析 可作出圖形,根據(jù)條件便可得出PM⊥BC,Q為PM的中點,可設△ABC的重心為G,則由題意即可得到AG⊥BC,從而有AG∥PM,而由條件可以得到點A為PN的中點,并可求得$AG=\frac{2\sqrt{2}}{3}$,從而便可得到$PQ=\frac{2\sqrt{2}}{3}$,這樣由△PBQ為等腰直角三角形即可求出PB的值,而AB=4,從而便可得出$|\overrightarrow{AP}|$的值.

解答 解:如圖,設△ABC的重心為G,由條件知BC=$4\sqrt{2}$,△ABC為等腰直角三角形,∴$AG=\frac{2\sqrt{2}}{3}$;

$(\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{BQ})•\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{PQ}•\overrightarrow{BC}=0$;
∴PQ⊥BC,且$\overrightarrow{PM}=2\overrightarrow{PQ}$;
∴PM⊥BC,且Q為PM的中點;
又AG⊥BC;
∴AG∥PM;
由$\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{0}$得,$\overrightarrow{AP}=-\overrightarrow{AN}$;
∴A為PN的中點;
∴PM=2AG;
∴$PQ=AG=\frac{2\sqrt{2}}{3}$;
△PBQ為等腰直角三角形,∠B=45°,∠PQB=90°;
∴$PB=\frac{\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{4}{3}$,AB=4;
∴$AP=4-\frac{4}{3}=\frac{8}{3}$;
即$|\overrightarrow{AP}|=\frac{8}{3}$.
故選:C.

點評 考查三角形重心的概念及重心的性質:重心到頂點距離是它到對邊中點距離的2倍,向量加法及數(shù)乘的幾何意義,向量垂直的充要條件,以及三角形中位線的性質,三角函數(shù)的定義.

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