Question

選修4-1：幾何證明選講：
如圖，AB為⊙O的直徑，D為⊙O上一點且CD⊥AB于C，E，F(xiàn)分別為圓上的點滿足∠ACF=∠BCE，直線FE、AB交于P，求證：PD為⊙O的切線．

Answer 1

分析：連接OD，延長FC交圓與G，連接GB，如圖．先由圓的性質(zhì)證得△PEC∽△POF，得∠POF=∠PEC=∠PGC，進而由相似三角形的判定定理證得△PGC∽△FOC，最后結(jié)合相交弦定理證出△PDC∽△DOC，即可得出PD是⊙O的切線．

解答：證明：延長FC交圓與G，連接GB、OD，如圖．
∠POF=2∠OAF，
而∠PEC=∠PEB+∠BEC=∠PAF+∠BGC=∠PAF+∠PAF=2∠PAF，
∴∠POF=∠PEC
又根據(jù)圓的對稱性，得∠PGC=∠PEC
在△PGC和△FOC中，∠1=∠2，
∠PGC=∠PEC，
∴△PGC∽△FOC，
∴PC•OC=GC•FC，
又CD²=GC•FC，
∴PC•OC=CD²
∴△PDC∽△DOC．
∴∠PDC=∠DOC，
∵∠DOC+∠ODC=90°，
∴∠PDC+∠ODC=90°，
∴PD是⊙O的切線．

點評：本題主要考查了切線的性質(zhì)，相交弦定理，相似三角形等知識點的綜合應用．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心和這點（即為半徑），再證垂直即可．