Question

已知橢圓的中心在坐標原點，焦點F₁、F₂在x軸上，長軸A₁A₂的長為4，左準線l與x軸的交點為M，

MA1

=2

A1F1

．
（I）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）過點M的直線l'與橢圓交于C、D兩點，若

OC

•

OD

=0，求直線l'的方程．

Answer 1

分析：（I）設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，半焦距為c，由題意能夠?qū)С鯽=2，b=

3

，c=1，故橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（II）設所求l'的方程為y=k（x+4），將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關系利用向量垂直的公式即可求得k值，從而解決問題．

解答：解：（I）設橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，半焦距為c

則| MA1 |= a2 c -a，| A1F1 |=a-c. 由題意，得 a2 c -a=2(a-c) 2a=4 a2=b2+c2 ∴a=2，b= 3 ，c=1 故所求橢圓方程為 x2 4 + y2 3 =1

（II）點M的坐標為M（-4，0），設C、D兩點坐標分別為C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），l'的方程為y=k（x+4），代入橢圓方程整理，得

(3+4k2)x2+32k2x+64k2-12=0 則x1+x2=- 32k2 3+4k2 ，x1x2= 64k2-12 3+4k2 由 OC • OD =0得x1x2+y1y2=0 又y1y2=k2[x1x2+4(x1+x2)+16]

后三個式子得(1+k2)

64k2-12

3+4k2

+4k2

(-32k2)

3+4k2

+16k2=0
解得k2=

3

25

，代入第一個中檢驗有△＞0，∴k=±

3

5

，
所以所求直線l’的主程為y=±

3

5

(x+4)

點評：本小題主要考查橢圓的標準方程、直線方程的應用、直線與圓錐曲線的綜合問題等基礎知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、方程思想．屬于基礎題．