Question

已知遞增的等比數(shù)列{a_n}滿足a₂+a₃+a₄=28，且a₃+2是a₂，a₄的等差中項
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=a_n（1+log₂a_n），求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的通項公式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件利用等比數(shù)列通項公式和等差中項性質(zhì)，列出方程組，求出首項和公比，再由{a_n}是遞增數(shù)列，求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）由b_n=a_n（1+log₂a_n）=2n(1+log22n)=（1+n）•2ⁿ，利用錯位相減法能求出Tn=n.2n+1．

解答： 解：（1）∵遞增的等比數(shù)列{a_n}滿足a₂+a₃+a₄=28，且a₃+2是a₂，a₄的等差中項，
∴

a1q+a1q2+a1q3=28 a1q+a1q3=2(a1q2+2)

，
解得

a1=2 q=2

或

a1=32 q= 1 2

，
∵{a_n}是遞增數(shù)列，∴a₁=2，q=2
∴數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=2•2^n-1=2ⁿ．
（2）∵b_n=a_n（1+log₂a_n）=2n(1+log22n)=（1+n）•2ⁿ，
∴T_n=2•2+3•2²+4•2³+…+（1+n）•2ⁿ，①
2T_n=2•2²+3•2³+4•2⁴+…+（1+n）•2ⁿ⁺¹，②
①-②，得：-T_n=4+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ-（1+n）•2ⁿ⁺¹
=4+

4(1-2n-1)

1-2

-(1+n)•2n+1
=-n•2ⁿ⁺¹，
∴Tn=n.2n+1．

點評：本題主要考查數(shù)列的通項公式的求法、前n項和公式的求法，考查等差數(shù)列、等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識，考查抽象概括能力，推理論證能力，運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，解題時要注意錯位相減法的合理運用．