Question

15．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=10，a_n+1=9S_n+10．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)T_n是數(shù)列{$\frac{1}{lg{a}_{n}•lg{a}_{n+1}}$}的前n項(xiàng)和，求T_n．

Answer 1

分析 （1）用a_n與s_n的關(guān)系得，a_n+1=9S_n+10，a_n=9S_n-1+10，兩式作差即可證得數(shù)列{a_n}是以10為首項(xiàng)，10為公比的等比數(shù)列，進(jìn)而求得a_n=a₁q^n-1=10ⁿ，
（2）lga_n=n，采用裂項(xiàng)求和，即可求得T_n．

解答 解：（1）依題意，當(dāng)n=1時(shí)，a₂=9S₁+10=9×10+10=100；
當(dāng)n≥2時(shí)，由a_n+1=9S_n+10，a_n=9S_n-1+10，
可得a_n+1-a_n=9a_n，即a_n+1=10a_n，此式對(duì)于n=1時(shí)也成立．
∴數(shù)列{a_n}是以10為首項(xiàng)，10為公比的等比數(shù)列，
∴a_n=a₁q^n-1=10ⁿ；
（2）lga_n=n，
$\frac{1}{lg{a}_{n}•lg{a}_{n+1}}=\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
${T}_{n}=（1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$
=1-$\frac{1}{n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)．考查了學(xué)生對(duì)數(shù)列基礎(chǔ)知識(shí)的綜合把握．