已知向量
a
=(cos
3x
2
，sin
3x
x
)，
b
=(cos
x
2
，-sin
x
2
)，x∈[0，
π
2
]，
（1）用x的式子來表示
a
•
b
及|
a
+
b
|；
（2）求函數(shù)f(x)=
a
•
b
-4|
a
+
b
|的值域．
分析：（1）直接利用向量數(shù)量積的坐標公式進行求解即可，以及計算|
a
+
b
|2，從而求出|
a
+
b
|的值；
（2）先求出函數(shù)f(x)=
a
•
b
-4|
a
+
b
|的解析式，然后化簡整理成f（x）=2（cosx-2）2-9，根據(jù)x的范圍可求出該函數(shù)的值域．
解答：解：（1）∵
a
=(cos
3x
2
，sin
3x
x
)，
b
=(cos
x
2
，-sin
x
2
)，x∈[0，
π
2
]，
∴
a
•
b
=cos
3x
2
cos
x
2
-sin
3x
2
sin
x
2
=cos2x，
而|
a
+
b
|2=1+1+2cos2x=4cos2x，
∴|
a
+
b
|=2cosx．
（2）∵
a
•
b
=cos2x，|
a
+
b
|=2cosx，
∴f(x)=
a
•
b
-4|
a
+
b
|=cos2x-8cosx=2cos2x-8cosx-1=2（cosx-2）2-9．
∵x∈[0，
π
2
]，所以cosx∈[0，1]，
即f（x）的值域為[-7，-1]．
點評：本題主要考查了平面向量數(shù)量積的運算，以及三角函數(shù)的化簡和二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(-cosα，1+sinα)，
b
=(2sin2
α
2
，sinα)．
（Ⅰ）若|
a
+
b
|=
3
，求sin2α的值；
（Ⅱ）設
c
=(cosα，2)，求(
a
+
c
)•
b
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(cosωx-sinωx，sinωx)，
b
=(-cosωx-sinωx，2
3
cosωx)，其中ω＞0，且函數(shù)f(x)=
a
•
b
+λ（λ為常數(shù)）的最小正周期為π．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的圖象的對稱軸；
（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）的圖象經(jīng)過點(
π
4
，0)，求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，
5π
12
]上的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(cos
θ
2
，sin
θ
2
)，
b
=(2，1)，且
a
⊥
b
．
（1）求tanθ的值；
（2 ）求
cos2θ
2
cos(
π
4
+θ)•sinθ
的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(cos(ωx-
π
6
)，  sin(ωx-
π
4
))，  
b
=(sin(
2
3
π-ωx)， sin(ωx+
π
4
))（其中ω＞0）．若函數(shù)f(x)=2
a
•
b
-1的圖象相鄰對稱軸間距離為
π
2
．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求f（x）在[-
π
12
，  
π
2
]上的值域．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(cosθ，sinθ)，
b=
(cos2θ-1，sin2θ)，
c
=(cos2θ，sin2θ-
3
)．其中θ≠kπ，k∈Z．
（1）求證：
a
⊥
b
；
（2）設f(θ)=
a
•
c
，且θ∈(0，π)，求f(θ)的值域．

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