Question

已知等比數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且2a₁+3a₂=1，a₃²=9a₂a₆．
（I）若數(shù)列{b_n}滿足：bn=

1

an

+lnan，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（Ⅱ）設(shè)c_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n，Tn=

1

c1

 +

1

c2

+…+

1

cn

求使k

n•2n+1

(n+1)

≥(7-2n)Tn（n∈N^*）恒成立的實(shí)數(shù)k的范圍．

Answer 1

分析：（I）先根據(jù)2a₁+3a₂=1，a₃²=9a₂a₆求出等比數(shù)列的通項(xiàng)；進(jìn)而求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)，最后集合分組求和即可得到數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（Ⅱ）先求出c_n得表達(dá)式，再利用裂項(xiàng)求和求出T_n；進(jìn)而把k

n•2n+1

(n+1)

≥(7-2n)Tn（n∈N^*）恒成立轉(zhuǎn)化為k≥

2n-7

2n

恒成立，最后求出不等式右邊的最大值即可．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q，由a32=9a₂a₆得a32=9a42
所以q²=

1

9

．
由條件可知q＞0，故q=

1

3

．
由2a₁+3a₂=1得2a₁+3a₁q=1，所以a₁=

1

3

．
故數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)式為a_n=

1

3n

∴b_n=3ⁿ+ln(

1

3

)n=3ⁿ-nln3．
所以S_n=

3n+1-3

2

-

n(n+1)

2

ln3．
（Ⅱ）∵C_n=log₃ a1+log₃a₂+…+log₃a_n，
=-（1+2+…+n）=-

n(n+1)

2

故

1

Cn

=-

2

n(n+1)

=-2（

1

n

-

1

n+1

），
T_n=

1

C1

+

1

c2

+…+

1

cn

=-2[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]=-

2n

n+1

所以數(shù)列{

1

cn

}的前n項(xiàng)和為-

2n

n+1

．
k

n•2n+1

(n+1)

≥(7-2n)Tn（n∈N^*）化簡(jiǎn)得k≥

2n-7

2n

恒成立
設(shè)d_n=

2n-7

2n

，則d_n+1-d_n=

2(n+1)-7

2n+1

-

2n-7

2n

=

9-2n

2n

．
當(dāng)n≥5，d_n+1≤d_n，{d_n}為單調(diào)遞減數(shù)列，1≤n＜5，d_n+1＞d_n，{d_n}為單調(diào)遞增數(shù)列
當(dāng)n≥5，c_n+1≤c_n，{c_n}為單調(diào)遞減數(shù)列，當(dāng)1≤n＜5，c_n+1＞c_n，{c_n}為單調(diào)遞增數(shù)列

1

16

=d₄＜d₅=

3

32

，所以，n=5時(shí)，d_n取得最大值為

3

32

所以，使k

n•2n+1

(n+1)

≥(7-2n)Tn（n∈N^*）恒成立的實(shí)數(shù)k≥

3

32

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察數(shù)列與不等式的綜合以及數(shù)列求和的分組求和法，是對(duì)數(shù)列知識(shí)的綜合考察，屬于中檔題目．