Question

如圖所示，已知A，B分別是橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0）的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，|OA|=2，點(diǎn)M為線段AB中點(diǎn)，直線OM交橢圓于C，D兩點(diǎn)（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），△ABC與△ABD的面積分別記為S₁，S₂．
（1）當(dāng)橢圓E的離心率e=

1

2

時(shí)，求橢圓E的方程；
（2）當(dāng)橢圓E的離心率變變化時(shí)，

S1

S2

是否為定值？若是求出該定值，若不是說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出a=2，且e=

1

2

，由此能求出橢圓方程．
（2）由已知A（2，0），設(shè)B（0，b），則M(1，

b

2

)，由此利用點(diǎn)到直線距離公式結(jié)合已知條件能求出

S1

S2

是定值3-2

2

．

解答： （10分）
解：（1）∵A，B分別是橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0）的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，|OA|=2，
橢圓E的離心率e=

1

2

，
∴a=2，且e=

1

2

，解得c=1，b=

3

，
∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．…（3分）
（2）由已知A（2，0），設(shè)B（0，b），則M(1，

b

2

)
直線OM：y=

b

2

x…（4分）
直線AB：bx+2y=2b…（5分）
由

x2 4 + y2 b2 =1 y= b 2 x

⇒b2x2+b2x2=4b2⇒x2=2，
∴C(

2

，

2

2

b)，D(-

2

，-

2

2

b)，
C到直線AB的距離為d1=

|2b-2 2 b|

b2+4

，
D到直線AB的距離為d2=

|2 2 b+2b|

b2+4

，…（9分）

S1

S2

=

1 2 |AB|•|2b-2 2 b|

1 2 |AB|•|2 2 b+2b|

=

|2-2 2 |

|2 2 +2|

=3-2

2

（定值）
∴

S1

S2

是定值，定值為3-2

2

．…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查兩個(gè)三角形面積比值是否為定值的判斷與證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)到直線的距離公式的合理運(yùn)用．