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8.設函數(shù)fx=exx1
(I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(II)若當x≥2時,f'(x)≥af(x)恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

分析 (Ⅰ)先求函數(shù)的定義域,再求導,根據(jù)導數(shù)判斷單調(diào)性;(Ⅱ)對于恒成立的問題,轉(zhuǎn)化為求關于參數(shù)的最值問題.

解答 解:(Ⅰ)函數(shù)f(x)的定義域是(-∞,1)∪(1,+∞),
f′(x)=exx2x12
由f′(x)>0,解得:x>2,由f′(x)<0,解得:x<2且x≠1,
故f(x)在(2,+∞)遞增,在(-∞,1),(1,2)遞減;
(Ⅱ)由題意得:x≥2時,exx2x12aexx1恒成立,
即x-2≥a(x-1)恒成立,解得:a≤x2x1,
令g(x)=x2x1,(x≥2),則g′(x)=1x12>0,
故g(x)在[2,+∞)遞增,
故g(x)≥g(2)=0,
故a的范圍是(-∞,0].

點評 本題考查函數(shù)恒成立問題,著重考查等價轉(zhuǎn)化思想與構(gòu)造函數(shù)思想、考查基本不等式的應用與運算求解能力,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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18.計算:232212=2,lg25lg14=2.

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19.己知函數(shù)f(x)=log2(-x2+2x+3)的定義域為A,函數(shù)g(x)=1x,x∈(-3,0)∪(0,1)的值域為B,不等式2x2+mx-8<0的解集為C
(1)求A∪(∁RB)、A∩B
(2)若同時滿足A,B的x值也滿足C,求m的取值范圍.

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16.用反證法證明“三角形中最多只有一個內(nèi)角是鈍角”的結(jié)論的否定是( �。�
A.有兩個內(nèi)角是鈍角B.有三個內(nèi)角是鈍角
C.至少有兩個內(nèi)角是鈍角D.沒有一個內(nèi)角是鈍角

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3.下列四個命題:
①命題“若a=0,則ab=0”的否命題是“若a=0,則ab≠0”
②若命題p:?x∈R,x2+x+1<0,則¬p:?x∈R,x2+x+1≥0
③若命題“¬p”與命題“p或q”都是真命題,則命題q一定是真命題;
④命題“若0<a<1,則loga(a+1)<loga(1+1a)”是真命題.
其中正確命題的序號是.(把所有正確的命題序號都填上)(  )
A.②③B.C.①②③D.

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13.412°角的終邊在( �。�
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

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20.設冪函數(shù)f(x)=kxa的圖象過點(13,81),則k+a=-3.

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17.函數(shù)f(x)=112x+lg(1+3x)的定義域是( �。�
A.(-∞,-13B.(-13,12)∪(12,+∞)C.12,+∞)D.1312)∪(12,+∞)

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18.已知fx=2x2+ax,且f(1)=3.
(1)試求a的值,并用定義證明f(x)在[22,+∞)上單調(diào)遞增;
(2)設關于x的方程f(x)=x+b的兩根為x1,x2,問:是否存在實數(shù)m,使得不等式m2+m+1≥|x1-x2|對任意的b[213]恒成立?若存在,求出m的取值范圍;若不存在說明理由.

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