已知函數(shù)f（x）=ax2-2x+lnx．
（1）若f（x）無(wú)極值點(diǎn)，但其導(dǎo)函數(shù)f'（x）有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍并證明數(shù)學(xué)公式＜數(shù)學(xué)公式．

解；（1）f′（x）=，f′（x）有零點(diǎn)而無(wú)極值點(diǎn)，表明該零點(diǎn)左右導(dǎo)數(shù)同號(hào)，∴a≠0，2ax2-2x+1=0的△=0，∴
（2）若f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)，則f′（x）=0有兩個(gè)正根，∴a≠0
∵，∴
∵=，令，則t∈（1，+∞），設(shè) g′（t）=，t∈（1，+∞）時(shí)g′（t）＜0，
所以在（1，+∞）上單調(diào)遞減，所以g（t）＜g（1）=，
所以＜．
分析：（1）先求函數(shù)f（x）=ax2-2x+lnx的導(dǎo)函數(shù)f′（x），f′（x）有零點(diǎn)而無(wú)極值點(diǎn)，表明該零點(diǎn)左右導(dǎo)數(shù)同號(hào)，即2ax2-2x+1=0的△=0，解方程即可
（2）若f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)，則f′（x）=0有兩個(gè)正根，結(jié)合二次函數(shù)y=2ax2-2x+1的圖象，列不等式即可得a的取值范圍；∵=，令，則t∈（1，+∞），構(gòu)造新函數(shù) t∈（1，+∞），利用導(dǎo)數(shù)發(fā)現(xiàn)其為減函數(shù)，所以g（t）＜g（1）=，即＜-
點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)在解決函數(shù)極值和證明不等式中的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真求導(dǎo)，防止錯(cuò)到起點(diǎn)，還要有數(shù)形結(jié)合的思想，提高解題速度．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
a-x2
x
+lnx  (a∈R ， x∈[
1
2
 ， 2])
（1）當(dāng)a∈[-2，
1
4
)時(shí)，求f（x）的最大值；
（2）設(shè)g（x）=[f（x）-lnx]•x2，k是g（x）圖象上不同兩點(diǎn)的連線的斜率，否存在實(shí)數(shù)a，使得k≤1恒成立？若存在，求a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2009•海淀區(qū)二模）已知函數(shù)f（x）=a-2x的圖象過(guò)原點(diǎn)，則不等式f(x)＞
34
的解集為
（-∞，-2）
（-∞，-2）
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=a|x|的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，3），解不等式f(
2x
)＞3．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=a•2x+b•3x，其中常數(shù)a，b滿(mǎn)足a•b≠0
（1）若a•b＞0，判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若a=-3b，求f（x+1）＞f（x）時(shí)的x的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=a-2|x|+1（a≠0），定義函數(shù)F（x）=
f(x)   ，  x＞0
-f(x) ，    x＜0
 給出下列命題：①F（x）=|f（x）|； ②函數(shù)F（x）是奇函數(shù)；③當(dāng)a＜0時(shí)，若mn＜0，m+n＞0，總有F（m）+F（n）＜0成立，其中所有正確命題的序號(hào)是
 
．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案