Question

17．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$sin2x-$\sqrt{3}$cos²x
（1）求f（x）的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；
（2）若將f（x）的圖象上每一點的橫坐標(biāo)伸長到原來的兩倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)g（x）的圖象，當(dāng)x∈[$\frac{π}{2}，π}$]時，求函數(shù)g（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的周期性和單調(diào)性，得出結(jié)論．
（2）根據(jù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律求得g（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的定義域和值域，得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵$f（x）=\frac{1}{2}sin2x-\sqrt{3}{cos^2}x=\frac{1}{2}sin2x-\frac{{\sqrt{3}}}{2}（{1+cos2x}）$=$\frac{1}{2}sin2x-\frac{{\sqrt{3}}}{2}cos2x-\frac{{\sqrt{3}}}{2}=sin（{2x-\frac{π}{3}}）-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
因此f（x）的最小正周期為$\frac{2π}{2}$=π．
令$kπ-\frac{π}{12}≤x≤kπ+\frac{5π}{12}，k∈Z$，解得$kπ-\frac{π}{12}≤x≤kπ+\frac{5π}{12}，k∈Z$，
所以，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為$[{kπ-\frac{π}{12}≤x≤kπ+\frac{5π}{12}}]，k∈Z$．
（2）將f（x）的圖象上每一點的橫坐標(biāo)伸長到原來的兩倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)g（x）=sin（x-$\frac{π}{3}$）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$ 的圖象，
當(dāng)x∈[$\frac{π}{2}，π}$]時，x-$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，
sin（x-$\frac{π}{3}$）∈[$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$，1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$]，
即函數(shù)g（x）的值域為[$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$，1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$]．

點評 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的單調(diào)性，y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．