Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=2，對(duì)?n∈N^*總有a_n+1=3a_n+2成立，
（1）計(jì)算a₂，a₃，a₄的值；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)果猜想數(shù)列的通項(xiàng)a_n，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法

專題：綜合題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）利用已知條件通過n=2，3，4，直接計(jì)算a₂，a₃，a₄的值，
（2）根據(jù)（Ⅰ）的計(jì)算結(jié)果，猜想的通{a_n}項(xiàng)公式，用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟直接證明即可．

解答： 解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₂=3×2+2=8；…（2分）
當(dāng)n=2時(shí)，a₃=3×8+2=26；…（4分）
當(dāng)n=3時(shí)，a₄=3×26+2=80；…（6分）
（2）結(jié)論：an=3n+1-1…（8分）
證明：1°當(dāng)n=1時(shí)，a1=2=31-1-1顯然成立；…（9分）
2°假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N^*）時(shí)成立，即ak=3k+1-1．
則當(dāng)n=k+1時(shí)，an=ak+1=3ak+2=3(3k+1-1)+2=3(k+1)+1-1，
所以，當(dāng)n=k+1時(shí)也成立，…（13分）
綜合1°2°，可知，對(duì)任意n∈N^*，總有an=3n+1-1成立．  …（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推關(guān)系式以及通項(xiàng)公式的應(yīng)用，數(shù)學(xué)歸納法的證明方法的應(yīng)用，考查計(jì)算能力與邏輯推理能力．