Question

（2012•浦東新區(qū)三模）已知a∈R，函數(shù)f（x）=x|x-a|．
（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，求使f（x）≥x成立的x的集合；
（Ⅱ）求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a(bǔ)=2代入函數(shù)解析式，根據(jù)絕對(duì)值的符號(hào)分為兩種情況，即x＜2和x≥2分別求解對(duì)應(yīng)不等式的解集，再把所有的解集取并集表示出來(lái)．
（Ⅱ）根據(jù)區(qū)間[1，2]和絕對(duì)值內(nèi)的式子進(jìn)行分類討論，即a≤1、1＜a＜2和a≥2三種情況，分別求出解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，再求最小值；最后用分段函數(shù)表示函數(shù)的最小值．

解答：解：（Ⅰ）由題意，f（x）=x|x-a|．…（1分）
當(dāng)x＜2時(shí)，f（x）=x（2-x）≥x，解得x∈[0，1]； …（2分）
當(dāng)x≥2時(shí)，f（x）=x（x-2）≥x，解得x∈[3，+∞）； …（3分）
綜上，所求解集為x∈[0，1]∪[3，+∞）； …（4分）
（Ⅱ）①當(dāng)a≤1時(shí)，在區(qū)間[1，2]上，f（x）=x²-ax=（x-

a

2

）²-

a2

4

，其圖象是開(kāi)口向上的拋物線，對(duì)稱軸是x=

a

2

，
∵a≤1，∴

a

2

≤

1

2

＜1，
∴f（x）_min=f（1）=1-a…（6分）
②當(dāng)1＜a＜2時(shí)，在區(qū)間[1，2]上，f（x）=x|x-a|≥0，
f（x）_min=0…（8分）
③當(dāng)a≥2時(shí)，在區(qū)間[1，2]上，f（x）=-x²+ax=-（x-

a

2

）²+

a2

4

，
其圖象是開(kāi)口向下的拋物線，對(duì)稱軸是x=

a

2

，
1° 當(dāng)1≤

a

2

＜

3

2

即2≤a＜3時(shí)，f（x）_min=f（2）=2a-4…（10分）
2° 當(dāng)

a

2

≥

3

2

即a≥3時(shí)，f（x）_min=f（1）=1-a
∴綜上，f（x）_min=

1-a，a≤1 0，1＜a＜2 2a-4，2≤a＜3 1-a，a≥3

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要用了分類討論的思想解決含有參數(shù)的函數(shù)求值和求最值問(wèn)題，分類的標(biāo)準(zhǔn)是絕對(duì)值的符號(hào)，求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值時(shí)，通常是利用函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，再求最值，有時(shí)需要對(duì)端點(diǎn)處的函數(shù)值進(jìn)行作差比較大小．