Question

在一個盒子中，放有標號分別為2，3，4的三張卡片，現從這個盒子中，有放回地先后抽得兩張卡片的標號分別為x、y，記ξ=|x-3|+|y-x|．
（I）求隨機變量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率；
（Ⅱ）求隨機變量ξ的分布列和數學期望．

Answer 1

解：（I）∵x，y可能的取值為2、3、4，∴|x-3|≤1，|y-x|≤2
∴ξ≤3，且當x=2，y=4，或x=4，y=2時，ξ=3．
因此，隨機變量ξ的最大值為3
∵有 放回地抽兩張卡片的所有 情況有 3×3=9種，
∴．
答：隨機變量的最大值為3，事件“ξ取得最大值”的概率為．
（II） ξ的所有 取值為0，1，2，3．∵ξ=0時，只有 x=3，y=3這一種情況，ξ=1時，
有 x=2，y=2或x=3，y=2或x=3，y=4或x=4，y=4四種情況，ξ=3時，有 x=2，y=3或x=4，y=3兩種情況．
∴，，…（10分）
則隨機變量ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P

因此，數學期望．…．（12分）
分析：（I）由題意x，y可能的取值為2、3、4由此可得出，|x-3|≤1，|y-x|≤2，即可得ξ≤3，分析出變量ξ的最大值時x，y的值，計算出事件“ξ取得最大值”包含的基本事件種數，由公式算出概率．
（Ⅱ）ξ的所有 取值為0，1，2，3，分別計算出ξ取每一個值時概率，列出分布列，由公式計算出數學期望．
點評：本題考查離散型隨機變量的期望與方差，解題的關鍵是求出分布列，熟練掌握概率的求法公式是準確得出分布列的關鍵，本題知識性較強，考查到了求概率，求分布列，求期望，是概率中一個典型題，題后要總結其解題脈絡．